Cherrt的博客

×3400\times 3400×3400 的神仙题，做自闭了。Description给定一个长度为 nnn 的 010101 串，你需要将它划分为若干个子串，使得将各个子串对应的二进制数加在一起，得到的是 222 的若干次幂。数据范围: 1≤n≤1061 \le n \le 10^61≤n≤106，时限 2.00s\texttt{2.00s}2.00s。SolutionPart 0: 何时无解首先，我们考虑何时无解。令 kkk 为 sss 中 111 的数量。当 k=0k=0k=0 时显然无

Description传送门SolutionKey Observation对于任意序列 aaa 而言，其前缀最大值与前缀最小值的差，即为 aaa 的各个循环排列的最大前缀和。例如，对于 a={−4,2,3,3,−4}a=\{-4,2,3,3,-4\}a={−4,2,3,3,−4}，其前缀最大值与前缀最小值的差 4−(−4)=84-(-4)=84−(−4)=8 即为其循环排列 {2,3,3,−4,−4}\{2,3,3,-4,-4\}{2,3,3,−4,−4} 的前缀 [1,3][1,3][1,3]

非常妙的计数 dp 题，有利于我们训练思维。Description传送门Solution首先，本题显然是一道计数 dp\text{dp}dp 题。在构造 dp\text{dp}dp 之前，我们不妨先考虑什么样的盘面 aaa 是合法的。不难得到下面的判定算法：考虑从左到右扫描 aaa，维护前缀中 000 的数量及非 000 颜色的种数，那么 aaa 合法当且仅当前者始终不小于后者。考虑将上述判定流程内化到 dp\text{dp}dp 状态中。令 fi,jf_{i,j}fi,j​ 表示，目前钦定了前

Description传送门Solution首先抽象问题，将原问题转化到一个平面上进行。考虑将 aaa 从大到小排序，并建出 nnn 个长方形，其中相邻两个长方形紧挨，从左到右第 iii 个长方形的宽度为 111，长度为 aia_iai​。那么，博弈模型等价于从 (1,1)(1,1)(1,1) 出发，每次向右或者向左走，最终走出边界的人输。首先不难想到一个 dp\text{dp}dp。令 fi,jf_{i,j}fi,j​ 表示，当目前在 (i,j)(i,j)(i,j) 时（即在第 iii 个长方形

文章目录DescriptionSolutionPart 1: 抽象为树上问题与初步解决Part 2: x=0,y=1Part 3: x=1,y=1Part 4: x=1,y=0Description传送门SolutionPart 1: 抽象为树上问题与初步解决首先，我们对括号序列建出一棵树。接着，我们尝试将两种操作转化为树上的操作。定义位置 iii 的匹配点 pip_ipi​ 为与第 iii 个括号匹配的括号的位置，则考虑每一个满足 si=s_i=si​=( 对应的 [i,pi][i,p_i]

CF700E 题解

一口气写了 2700 多字，然而代码只有 1500 B（Description传送门Solution显然，我们所要做的事，就是构造出一对 (i,j)(i,j)(i,j)，使得编号为 i,ji,ji,j 的人会讨论。算法一考虑枚举位置 ppp，接着再枚举包含位置 ppp 的 (Si,Sj)(S_i,S_j)(Si​,Sj​)。这样一来，条件 Si∩SjS_i \cap S_jSi​∩Sj​ 就得到了满足，接下来还要判定 Si,SjS_i,S_jSi​,Sj​ 是否存在互相包含的关系。不妨设 ∣

Description传送门Solution首先考虑将 min⁡,max⁡\min,\maxmin,max 给拆开。二者同理，我们不妨仅考虑求前者。对于 m=2m=2m=2 的情况可以随便做。下面我们先考虑 m=3m=3m=3 的情况。首先，明确所要求即 ∑1≤i,j≤mmax⁡1≤k≤3{ak,i+ak,j}\sum_{1 \le i,j \le m} \max_{1 \le k \le 3}\{a_{k,i}+a_{k,j}\}1≤i,j≤m∑​1≤k≤3max​{ak,i​+ak,j​}不

这道题我前前后后做了一年，共过了 444 遍，每次都有的新的理解；这次我认为自己理解透了，于是就写了一篇题解。这道题是我入坑看到的第一道黑题（当时很萌，不知道黑题是什么，看到这题感觉很好玩），另外还有就是《切树游戏》和 Spiders Evil Plan，记载着我的回忆（Description传送门Solution算法一为方便叙述，令树根为 111，wu,vw_{u,v}wu,v​ 表示 u,vu,vu,v 之间的边权，son{u}\text{son}\{u\}son{u} 表示 uuu 的儿子

没错，NOIP 都结束了，我才补省选题。我是一只大鸽子！！1Description传送门Solution算法一直接暴力即可。每次计算 f(i,G)f(i,G)f(i,G) 的时候，暴力枚举 j∈[1,i]j \in [1,i]j∈[1,i] 并通过 O(m)O(m)O(m) 的 dfs\text{dfs}dfs 进行判定，所以每个 f(i,G)f(i,G)f(i,G) 的计算都是 O(nm)O(nm)O(nm) 的。注意到一共要计算 O(nm)O(nm)O(nm) 个 f(i,G)f(i,G)

Description给定整正数 nnn。构造一个长度不超过 10610^6106 的字符串，使得其中满足 ⌈\lceil⌈ 从左到右依次拼接起来，得到的十进制数是 777 的倍数 ⌋\rfloor⌋ 的区间 [l,r][l,r][l,r] 恰有 nnn 个。n≤106n \le 10^6n≤106Solution自闭了，构造题杀我！首先，考虑对于一个固定的数字串 SSS，其中有多少合法的子串 [l,r][l,r][l,r]。考虑使用前缀和维护。令 aia_iai​ 表示，[i,∣S∣][i,

Description传送门Solution这是一道神仙题。考虑对于某个固定的 AAA 判断其是否合法，并得到合法的充分必要条件。首先，AAA 的极差不得超过 111。这是为什么呢？考虑 PPP 的某个最长上升子序列 {Pp1,Pp2,⋯ ,Ppk}\{P_{p_1},P_{p_2},\cdots,P_{p_k}\}{Pp1​​,Pp2​​,⋯,Ppk​​}。对于每个位置 iii，若 i≠Pp1,i≠Pp2,⋯ ,i≠Ppki \neq P_{p_1},i \neq P_{p_2},\cdots,

文章目录前言SolutionsABCDObservation 1Observation 2SolutionEFCode前言神迹: 模拟赛切掉 A,C,E，但不会 B,D,F。真就涉及到一丢丢构造和贪心就不会做呗，我是真的菜。SolutionsA不难发现，每次操作可以将 a1+a3−2a2a_1+a_3-2a_2a1​+a3​−2a2​ 减小或增大 333。若令 ppp 为初始时的 a1+a3−2a2a_1+a_3-2a_2a1​+a3​−2a2​，那么：若 p≡0(mod3)p \equi

前言A令 bib_ibi​ 表示，有多少个 j(j≤i)j(j \le i)j(j≤i) 不后于 iii 被删除。那么答案为 NO 当且仅当: 对于每个合法的 bbb，均存在一个 i∈[1,n]i \in [1,n]i∈[1,n] 使得 (bi+1)∣ai(b_i+1)|a_i(bi​+1)∣ai​。不难发现 bbb 与 n!n!n! 种删数方案构成了双射关系，因此整数序列 bbb 合法当且仅当 ∀i∈[1,n]\forall i \in [1,n]∀i∈[1,n] 满足 1≤bi≤i1 \le

Description传送门SolutionPart 1: 简化版首先，考虑这样一个简化版的问题: 第 iii 行第 jjj 列的点被经过不超过 limi,jlim_{i,j}limi,j​ 次时，求最少移动步数。首先，我们把白棋看做没棋。特别的，若 ai,j=bi,j=1a_{i,j}=b_{i,j}=1ai,j​=bi,j​=1（即对应位均为黑棋），那么我们也将其均看做没棋。考虑网络流建模。为满足点的限制，将每一个 (i,j)(i,j)(i,j) 拆成入点 Li,jL_{i,j}Li,j​

Description传送门SolutionPart 1: 题意抽象结合对顶栈的思想，我们可以将题意抽象为对两个栈的操作。即，我们将 1,2,3,⋯ ,n1,2,3,\cdots,n1,2,3,⋯,n 依次放到 A 栈中，2n+1,2n,⋯ ,n+22n+1,2n,\cdots,n+22n+1,2n,⋯,n+2 依次放到 B 栈中。那么，辉夜所做的事情就是: 先选择 an+1a_{n+1}an+1​，然后执行若干次下述操作: ⌈\lceil⌈ 删除一个栈中的某个元素并选另一个栈的栈顶元素 ⌋\rf

Description给定一个长度为 nnn 的首项为 sss 且公差为 yyy 的等差数列。数列中的所有位置初始为蓝色。不过，一个可爱的妹子在其中等概率随机了 mmm 个位置并将它们染成了紫色。显然，紫是均匀分布的。现在你想要知道她染了哪些位置，因此你可以提出询问。每个询问格式形如 l r，表示查询 [l,r][l,r][l,r] 中所有蓝色位置的权值和。当你想要回答的时候，先输出 −1-1−1，再输出 mmm 个从小到大排列的数表示这些紫色的位置。TTT 次询问，当你的询问次数不超过 200T2

Description给定一个 2n2n2n 个长度为 nnn 的排列，你需要从中选出 nnn 个组成一个拉丁方阵。保证: 若对于每两个存在对应位置的值相同的排列连边，则此图有完美匹配。1≤n≤5001 \le n \le 5001≤n≤500Solution我们刚拿到这个方阵，第一步该如何处理呢？首先，如果某一列上，有一个数出现了恰好一次，那么该数所在的排列必然出现在最终的拉丁方阵里面。于是，选定它，然后将所有与它有连边的排列删掉。其次，如果所有数的出现次数都超过一次呢？不难发现，根据抽屉原

文章目录SolutionsABCDESolutionsA最优区间 [l,r][l,r][l,r] 必然满足 l+1=rl+1=rl+1=r。因此答案为max⁡i=1n{ai×ai+1}\max_{i=1}^n \{a_i \times a_{i+1}\}i=1maxn​{ai​×ai+1​}可以通过反证法来证明。复杂度 O(∑n)O(\sum n)O(∑n)。B考虑枚举 ai∣aj=xa_i|a_j=xai​∣aj​=x。此时，ai,aja_i,a_jai​,aj​ 均为 xxx 的子集，即

Description给定一个长度为 N+MN+MN+M 的排列。你每次可以选择前 NNN 个数中的一个以及后 MMM 个数中的一个并将它们交换。你需要求出，至少需要多少次交换操作才能使得排列变为 1,2,3,⋯ ,N+M1,2,3,\cdots,N+M1,2,3,⋯,N+M。Solution下面，为方便叙述，令位置不超过 NNN 为左边，否则为右边。假设我们可以交换同属一边的数，那么这就成为了一道裸题: 从 iii 向 pip_ipi​ 连边，得到了一张每个点的入度以及出度均为 111 的图。

Description给定 n,kn,kn,k 以及位置集合 S1,S2,⋯ ,SkS_1,S_2,\cdots,S_kS1​,S2​,⋯,Sk​。定义第 iii 次操作为，将 SiS_iSi​ 中的值从小到大排序。你需要判断，若依次执行第 1,2,3,⋯ ,k1,2,3,\cdots,k1,2,3,⋯,k 次操作，是否任意数列都能最终变成单调不下降的。1≤n≤40,1≤k≤101 \le n \le 40,1 \le k \le 101≤n≤40,1≤k≤10Solution下面，为方便叙述，

VP 迅速过掉了 A,B,C,D,F，就是不会 E。菜得真实。Description传送门Solution为方便叙述，我们建立一个 nnn 行 kkk 列的矩阵 MMM，其中第 iii 行第 jjj 列表示序列上第 jjj 个值为 iii 的数的出现位置。首先，不难发现，我们只会选满足下面要求的区间 [l,r](al=ar)[l,r](a_l=a_r)[l,r](al​=ar​)：在第 ala_lal​ 行内，l,rl,rl,r 的位置连续。然后，我们考虑一些特殊情况。k=2k=2k=2

Description给定一张 nnn 个点 mmm 条边的图，你需要求出其补图的连通块个数以及各个连通块的大小。原数据范围: 1≤n≤105,1≤m≤2×1061 \le n \le 10^5,1 \le m \le 2 \times 10^61≤n≤105,1≤m≤2×106加强版数据范围: 1≤n,m≤5×1061 \le n,m \le 5 \times 10^61≤n,m≤5×106Solution补图的边数是 n2n^2n2 级别的，若我们建出整个补图则无法通过。注意到，我们只需要连

Description有 nnn 个人，第 iii 个人给出一个长度为 mmm 的仅包含 A 和 B 的字符串 sis_isi​。扔若干次硬币，并记录下硬币落地时朝上的正反面情况。当一个人猜的序列在硬币序列中出现时，此人胜利，且扔硬币活动停止。你需要对于每个 iii，求出第 iii 个人获胜的概率。1≤n,m≤3001 \le n,m \le 3001≤n,m≤300，sss 中的元素两两不同。Solution为方便叙述，做出如下约定：令字符串 TTT 为 iii 获胜的终止串，当且仅当

SolutionA无脑 dp\text{dp}dp 即可。B花了好长时间才做出来。假设 TTT 依次选择了橘子 t1,t2,⋯ ,tkt_1,t_2,\cdots,t_kt1​,t2​,⋯,tk​，AAA 依次选择了橘子 a1,a2,⋯ ,an−ka_1,a_2,\cdots,a_{n-k}a1​,a2​,⋯,an−k​，考虑构造一组满足上述要求的方案。首先，一定是 TTT 先选，于是他先拿了 t1t_1t1​。接下来的一个橘子，必须是 t2t_2t2​ 或 a2a_2a2​，但是若选择了 t2

Description传送门Solution算法一考虑一个 O(nq)O(nq)O(nq) 的算法。我们动态地维护序列 aaa，其中 aia_iai​ 表示 pip_ipi​ 是 [1,i][1,i][1,i] 中第几小的。显然，有 ai=i−bia_i=i-b_iai​=i−bi​。对于一次修改，直接 O(1)O(1)O(1) 地更新 aia_iai​。对于一次查询，令 ans=aians=a_ians=ai​，并从 i+1i+1i+1 一直扫描到 nnn。若当前的 ansansans 满足

Description传送门Solution首先，不难发现，无论先手与后手如何操作，后手总是赢的。也就是说，题目所要求的答案，就是存在多少种极大格局。直接考虑操作格局较为困难，于是考虑最终的盘面格局。不难发现：①由于它需要是极大的，所以：不存在连续两个空格。对于某个空格而言，其两侧必然是一个 A\text{A}A，一个 B\text{B}B。②由于它是合法的，所以：不存在两个连续的 A\text{A}A。不存在两个连续的 B\text{B}B。通过手玩可以发现，

无限膜拜 myy。Description传送门Solution算法一首先考虑一个 O(m2)O(m^2)O(m2) 的算法。令 fi,jf_{i,j}fi,j​ 表示，是否存在一条以 iii 为起点，以 jjj 为终点的标号回文路径。若 fi,j=1f_{i,j}=1fi,j​=1，且存在边 (u,i)(v,j)(u,i)(v,j)(u,i)(v,j) 使 u,vu,vu,v 同奇同偶，那么 fu,v=1f_{u,v}=1fu,v​=1。注意到状态转移较难确定顺序，所以我们需要使用 queue

计不如人，肝败吓疯。Description传送门Solution翻译作品。算法一考虑固定一个根 rrr，作为序列中的第一个位置。从而，一个合法的 bfs\text{bfs}bfs 序列，就等价于从 rrr 往外扩展，每新扩展出一个节点就将其压入的序列。看到期望逆序对数，不难想到枚举 x,y(x>y)x,y(x>y)x,y(x>y)，并求出 xxx 在 bfs\text{bfs}bfs 序列中比 yyy 先出现的概率。此时，我们已经三重循环地枚举了 r,x,yr,x,yr,x,

SolutionA对于第 xxx 轮，我们将所有满足 i+j≡x(modn−1)i+j \equiv x \pmod {n-1}i+j≡x(modn−1) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 配对。注意这里 i,ji,ji,j 的下标均从 000 开始。但是这样会导致一些数无法配对，例如当 n=6,x=2n=6,x=2n=6,x=2 时，000 已经和 222 配对了，那么 555 就无法和 222 配对了。同时，111 无法与它自己配对，所以最终会剩下 5,15,15,1 未配对。由于每一轮中会有

Description传送门SolutionLemma 1若我们将 aaa 从小到大排序，那么答案的上界为∑i=n+12nai−∑i=1nai\sum_{i=n+1}^{2n}a_i-\sum_{i=1}^n a_ii=n+1∑2n​ai​−i=1∑n​ai​考虑构造一个能达到上界的算法。令 fif_ifi​ 表示，在排序后 iii 是否在前一半。我们将原序列从左往右扫描，用栈实时维护未匹配的左括号，并记录下每个左括号来源于哪个位置。令当前扫描到了 iii。若栈未空，填上 ( 并加入栈