差分之间，性质多多——差分综合应用学习笔记

差分，能够巧妙地维护多种区间修改，将区间修改转化为单点修改，将询问转化为前缀查询。

但是，差分能支持的，岂止是这些。有时，差分一下，性质多多。

例1. [Luogu P4552]IncDec Sequence

Description

给定一个序列，请求出至少需要多少次区间统加$1$或区间统减$1$的操作才能使得整个序列中的数两两相同。

为了增加难度，你也需要求出，在满足操作次数最小且最终序列中的数两两相同的前提下，最终能够得到多少种不同的序列。

Solution

本题中有区间修改这一说。不难想到差分。

现在，我们完成了一个重要的转化: 给定一个长度为$n+1$的序列，每次可以选择序列中的任两个位置，一个加$1$，另一个减$1$，使得这个序列的第$2-n$个位置均为$0$。

由于我们要让操作次数尽可能得小，我们要先贪心地去选择在$[2,n]$区间内的一个正数和一个负数并将它们配对，正数减$1$，负数加$1$。经过了这些操作之后，我们再将剩下的数去与$1,n+1$中的一个数配对。假设这个数为正，那么配对之后它一定要减$1$；否则一定要加$1$。经历这些操作之后，我们便完成了要求。

假设$2-n$这些数中，正数之和为$x$，负数的绝对值之和为$y$。首先，我们使用了$min(x,y)$次操作，每次操作将一个正数减$1$，一个负数加$1$。然后，我们使用了$max(x,y)-min(x,y)$次操作，将每一个$[2,n]$区间内不为$0$的数与下标为$1$或$n+1$中的一个数配对。于是我们总共使用了$max(x,y)$次操作。由于第一个位置有$max(x,y)-min(x,y)+1$种不同的值(即，对于剩下的$max(x,y)-min(x,y)$都可以与下标为$1$的位置配对或不与它配对)，所以两个答案分别为:

①$max(x,y)$
②$max(x,y)-min(x,y)+1$

时间复杂度$O(n)$。本题得到完美解决。

Summary

我们通过差分，将区间修改转化为单点修改，自然而然得到了几个性质，从而推出结论。

例2. [LNOI2014]LCA

Description

给定一棵包含$n$个节点的树，$q$次询问，每次给定$l,r,x$，请你求出$$\sum _{i=l}^{r}depth(LCA(i,x))$$

这里的$depth$表示一个节点的深度，即其与根节点的距离加$1$。

Solution

一道绝妙的好题。

首先，我们考虑$depth(LCA(i,x))$等于什么。在这之前，我们先思考$depth$表示什么，以及$LCA$表示什么。

①$depth$: 一个节点到根节点的深度加1。
也就是说，从这个节点开始往上走，一直走到根，期间经过的点的数量。

②$LCA$: 两个节点的最近公共祖先。
也就是说，从这两个节点中的一个往上走，对每一个经过的点打上标记；然后另外一个节点也向上走，如果遇到了一个打上标记的节点，立即将这个节点作为它们俩的LCA。

综上所述，$depth(LCA(i,x))$就等价于: 让$i$不停地往上走，对每一个走到的节点打上标记，即将该点的点权加$1$；然后再让$x$往上走，标记的总数量(即点权之和)就是$depth(i,x)$。

于是，${\sum }_{i=l}^{r}depth(LCA(i,x))$也可以通过类似上述方法来求出。

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首先，本题的询问似乎很难处理，而且询问也没有强制在线，于是我们考虑离线。同时，我们再将一个询问拆成两个询问，即查询$[1,r]$与$[1,l-1]$，二者相减即可。

然后，我们对于现在的$2m$个询问从小到大排序。每次加入一个新节点，就将它到根节点的路径上所有节点的点权都加$1$；对于每一次询问，查询它到根节点路径上每个节点的点权之和。这相当于“路径修改，路径查询”，可以通过重链剖分套线段树在$O(q{\log }^{2}n)$的代价下搞定。

总时间复杂度$O(n+q{\log }^{2}n)$。注意取模即可。

Summary

有时，区间查询可以转化为更容易处理的前缀查询，方便我们“莫队”离线处理。同时，本题也考察了树链剖分，是一道不可多得的LNOI好题。

例3. [GXOI/GZOI2019]旧词(改编)

Description

给定一棵包含$n$个节点的树和一个常数$k(1\le k\le 10^9)$，$q$次询问，每次给定$l,r,x$，请你求出$$\sum _{i=l}^{r}depth(LCA(i,x){)}^k$$

这里的$depth$表示一个节点的深度，即其与根节点的距离加$1$。

由于答案可能很大，请将其对$998244353$取模。

Solution

我们仍然将每一个询问拆成两个，离线下来排序。但是$k\ne 1$似乎很难办……而且$k$这么大，二项式定理拆开都不行……

别慌，我们考虑能不能通过一步差分，将本题转化为例2。定义$A_i=(dept{h}_i+1{)}^k-dept{h}_i^k$，对于新加入的一个节点，从它到根节点的路径上每个节点都加上一个$A_i$；对于一次查询，仍然查询它到根节点的路径上所有节点的点权之和。我们可以处理出$A$的前缀和，然后通过树剖套线段树求出。

这种做法为什么是正确的呢？根据差分的性质，从一个节点到根节点的路径上求出点权之和，就是这个节点本身的贡献之一。于是，每次查询我们都能得到正确的答案。

总时间复杂度仍然为$O(n+q{\log }^{2}n)$。

一些练习题

①P6070
先挖一个比较显然的性质，然后直接二分差分即可。

②[ABC155F]Perils in Parallel
一道套路题，通过差分可以转化为单点修改，然后建图乱搞即可。

③P3620
一道经典题，通过差分进行等效转化即可。