[八省联考 2018] 林克卡特树 题解

这道题我前前后后做了一年，共过了 $4$ 遍，每次都有的新的理解；这次我认为自己理解透了，于是就写了一篇题解。

这道题是我入坑看到的第一道黑题（当时很萌，不知道黑题是什么，看到这题感觉很好玩），另外还有就是《切树游戏》和 Spiders Evil Plan，记载着我的回忆（

Description

传送门

Solution

算法一

为方便叙述，令树根为 $1$，$w_{u,v}$ 表示 $u,v$ 之间的边权， son { u } \text{son}\{u\} son{ u} 表示 $u$ 的儿子组成的集合。

可以发现，答案即为 $\lceil$ 在树上选出 $k+1$ 条不相交的路径 $\rfloor$ 的最大边权和。

考虑 $\text{dp}$。

令 $f_{u,i,j}$ 表示，看了以 $u$ 为根的子树，子树内一共选了 $i$ 条不相交的路径，且 $u$ 当前度数为 $j$ 的最大边权和。

• 若 $j=0$，则目前没有包含 $u$ 的路径。特别的，若以 $u$ 为根的子树已经遍历完，则 $f_{u,i,j}$ 表示所有该子树中的路径都被固定时的最大边权和（也就是说，遍历完子树后 $f_{u,0}$ 对应的状态中 $u$ 的度数可以为 $0$ 或 $1$ 或 $2$）。
• 若 $j=1$，则目前恰有一条以 $u$ 为一端的非固定路径（也就是说可以继续延伸出去，没有彻底固定这条路径的形态）。因为这条路径不固定，所以这条路径并没有被计入 $i$。
• 若 $j=2$，则目前有一条包含 $u$ 的路径，且其任意一端均不为 $u$（跨越了 $u$ 的两个子树）。

考虑使用树形背包转移。具体来说，令目前要将以 v ( v ∈ son { u } ) v(v \in \text{son}\{u\}) v(v∈son{ u}) 为根的子树合并上来，则有转移：

$$f_{u,i,0}:=\max (f_{u,i,0},\underset{j=0}{\max }$$