CF618G Combining Slimes 题解

CF618G Combining Slimes

CF618G Combining Slimes

首先考虑根据期望的线性性质对于每一个数分开来计算贡献，之后再求出每一个数出现的概率即可。

也不是很清楚这个东西是不是线性性质。

但是说实话就是对于所有数一起考虑是不能入手的。

之后我们发现事实上任意的数都有可能出现，发现其没有取模，我们不妨计算一下一个数可能出现的概率。

如果说这个数是 $x$，那么其概率是 $(1-10^{-9}{)}^{2^{x-1}}$。算一下发现 $x=50$ 的时候这个东西基本上都趋近于 $0$ 了。那么我们可以直接只考虑前面的 $50$ 个数。

我们考虑算每个数至少出现一次的概率，那么设其为 $a(i,j)$ 那么可以得到转移方程：
$$a(i,j)=a(i-1,j-1)\times a(i,j-1)$$

就是考虑前面出现的同时出现两个数的情况，那么肯定有一个拼成的数需要占用一个位置。

显然初值是 $a(1,1)=p,a(1,2)=1-p$。

但是发现 $n$ 实际上还是很大，我们不能将所有的值都求出来，根据上文的经验，我们发现当 $a(i,j)$ 其中 $i>50$ 的时候也趋近于零，那么之后的所有值我们都可以用 $a(50,j)$ 进行代替。

之后我们计算转移的方程 $f(i,j)$ 表示考虑了最后的 $i$ 个格子，从右开始数第 $i$ 个格子恰好是 $j$ 后面的值的期望。

注意因为是恰好，我们之前计算的 $a$ 是至少，那么我们不妨设 $A(i,j)=a(i,j)\times (1-a(i-1,j))$ 也就是恰好。

就是说之前都不是 $j$ 然后正好当前位置是 $j$ 的概率。

那么可以得到 ：
$$\begin{array}{r}f(i,\end{array}$$