本文介绍了Newton-Cotes求积公式，包括其基本原理、Cotes系数表以及Matlab中的算法实现。通过实例展示了如何使用这些公式计算积分并分析其在不同阶数下的精度。
文章对应视频讲解：(Newton-Cotes)牛顿-科特斯求积公式
一、Newton-Cotes求积公式
对 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的 n n n 等分点 x k = a + k h , h = b − a n , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n x_{k}=a+kh,h=\frac{b-a}{n},k=0,1,2,\cdots,n xk=a+kh,h=nb−a,k=0,1,2,⋯,n
n n n 阶Newton-Cotes 公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) ∑ k = 0 n c k ( n ) f ( x k ) \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx(b-a)\sum_{k=0}^nc_k^{(n)}f(x_k) ∫abf(x)dx≈(b−a)k=0∑nck(n)f(xk)
Cotes 系数，令 x = a + t h x= a+th x=a+th
C k ( n ) = 1 n ∫ 0 n ( ∏ i = 0 i ≠ k n t − i k − i ) d t = ( − 1 ) n − k n k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n ∏ i ≠ k i = 0 n ( t − i ) d t C_{k}^{(n)}={\frac{1}{n}}\int_{0}^{n}\left(\prod_{i=0\atop i\neq k}^{n}{\frac{t-i}{k-i}}\right)\mathrm{d}t=\frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_{0}^{n}\prod_{\overset{i=0}{i\neq k}}^{n}(t-i)\mathrm{d}t Ck(n)=n1∫0n
i=ki=0∏nk−it−i
dt=nk!(n−k)!(−1)n−k∫0ni=ki=0∏n(t−i)dt
Cotes系数表
| n | C k ( n ) C_k^{(n)} Ck(n |
|---|
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