文章对应视频讲解:(Newton-Cotes)牛顿-科特斯求积公式
一、Newton-Cotes求积公式
对 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的 n n n 等分点 x k = a + k h , h = b − a n , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n x_{k}=a+kh,h=\frac{b-a}{n},k=0,1,2,\cdots,n xk=a+kh,h=nb−a,k=0,1,2,⋯,n
n n n 阶Newton-Cotes 公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) ∑ k = 0 n c k ( n ) f ( x k ) \int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx(b-a)\sum_{k=0}^nc_k^{(n)}f(x_k) ∫abf(x)dx≈(b−a)k=0∑nck(n)f(xk)
Cotes 系数,令 x = a + t h x= a+th x=a+th
C k ( n ) = 1 n ∫ 0 n ( ∏ i = 0 i ≠ k n t − i k − i ) d t = ( − 1 ) n − k n k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n ∏ i ≠ k i = 0 n ( t − i ) d t C_{k}^{(n)}={\frac{1}{n}}\int_{0}^{n}\left(\prod_{i=0\atop i\neq k}^{n}{\frac{t-i}{k-i}}\right)\mathrm{d}t=\frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_{0}^{n}\prod_{\overset{i=0}{i\neq k}}^{n}(t-i)\mathrm{d}t Ck(n)=n1∫0n
i=ki=0∏nk−it−i
dt=nk!(n−k)!(−1)n−k∫0ni=ki=0∏n(t−i)dt
Cotes系数表
n | C k ( n ) C_k^{(n)} Ck(n |
---|