【DP】分组背包

最新推荐文章于 2025-07-26 20:07:12 发布

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探讨了一种特殊的背包问题，其中物品被分为多个组，每组内的物品互斥，目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品以最大化总价值。通过动态规划方法，介绍了如何求解此类问题，并给出了具体的代码实现。

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输入

第一行：三个整数，v(背包容量，v<=200),n（物品数量，n<=30)和t（最大组号，t<=10）;
第2…n+1行：每行三个整数wi,ci,p，表示每个物品的重量、价值、所属组号。

输出

仅一行，一个数，表示最大总价值。

输入样例

10 6 3
2 1 1
3 3 1
4 8 2
6 9 2
2 8 3
3 9 3

输出样例

解题思路

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：
$f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]}$

物品i属于组k

程序如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v,n,t,a[31][31],s[31][31],p[31],f[501],x,y,h;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&v,&n,&t);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	  scanf("%d%d%d",&x,&y,&h);
	  s[h][++p[h]]=x;//s为代价
	  a[h][p[h]]=y;//a为价值
	}
	  for(int i=1;i<=t;i++)//表示的是组
	  {
	  	for(int j=v;j>0;j--)//表示背包容量
	  	{
	  		for(int k=1;k<=p[i];k++)
	  		{
	  			if(j>=s[i][k])
	  			{
	  				f[j]=max(f[j],f[j-s[i][k]]+a[i][k]);//表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值
	  			}
	  		}
	  	}
	  }
	  printf("%d",f[v]);
	return 0;
}