动态规划【6】之分组背包

例题：luogu1757 通天之分组背包.

所谓分组背包，就是将物品分组，每组的物品相互冲突，最多只能选一个物品放进去¹。相对于0/1背包增加了分组。

本文将介绍类似0/1背包的方式。回顾0/1背包的方式，$dp[i][j]$表示前$i$个物品中总重量不大于$j$的最大价值，转移式是
$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]).$$

分组背包中，依然用$dp[i][j]$（此处的$i$意义变化了），i表示前i组背包，一组背包中可能有很多个互斥物品。转移式是
$$dp[zs[i]][j]=max(dp[zs[i]][j],max(dp[zs[i]-1][j],dp[zs[i]-1][j-w[i]]+v[i])),$$其中zs[i]表示第i个物品所在的组。
有以下注意点：

• 第$i$组可能包括很多个互斥物品，因此$dp[zs[i]][j]$可能被多次用到，需要取max。
• 转移的时候要按顺序转移，把第$i$组（包括很多个互斥物品）处理完了以后再处理第$i+1$组。

代码如下：

/* ***********************************************
Author        : VFVrPQ
Created Time  : 六  2/29 18:57:01 2020
File Name     : luogu1757通天之分组背包.cpp
Problem       : 
Description   : 
Solution      : 
Tag           : 
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define DEBUG(x) cout<<x<<endl;
const int N = 1e5+10;
const int M = 1e9+7;
const int INF = 1e9+7;

int n, m;
struct Node{
    int a,b,c;
};
Node p[N];

bool cmp(Node i, Node j){
    return i.c<j.c;
}

int dp[N][1111];//dp[i][j]表示前i组，最大重量是j时的最大价值（注意是前i组！）

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].c);
    }
    sort(p+1, p+n+1, cmp);//按组号排序

    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=0;j<=m;j++){
            int zs = p[i].c;//组数
            //因为可能不同的物品属于同一组，所以dp[zs][j]会被不同的物品多次更新，需要取max
            if (j<p[i].a) dp[zs][j] = max(dp[zs][j], dp[zs-1][j]);//从前一组转移过来
            else {
                dp[zs][j] = max(dp[zs][j], max(dp[zs-1][j], dp[zs-1][j-p[i].a]+p[i].b));
            }
        }
    }
    int max_zs = p[n].c;
    printf("%d\n", dp[max_zs][m]);
    return 0;
}

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1. https://oi-wiki.org/dp/knapsack/#_7 ↩︎