洛谷 P3357 是一个经典的网络流问题，具体涉及最大流与最小割的应用。该问题通常被称为“最长k可重线段集”问题或类似的最大收益问题，其核心在于如何利用网络流算法对问题进行建模和求解。
### 问题解析
该问题可以被理解为在给定一系列线段的情况下，选出若干互不重叠的线段，使得它们的总权值最大。这一问题可以通过构建一个流网络，将其转化为最大流问题，进而使用最小割模型进行求解。
具体而言，需要将线段的端点作为图中的节点，并依据线段的权值和重叠限制构建边权。通过引入源点和汇点，并设置合适的容量限制，可以将问题转化为在网络中寻找最大流的过程。
### 算法实现
常用的解决方案是使用 **最小费用最大流** 或 **最大流 Dinic 算法** 对问题进行建模。以下是一个基于 Dinic 算法的基本实现框架：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int INF = 1e9;
struct Edge {
int to, rev, capacity, cost;
Edge
(int t, int r, int c, int co
) : to
(t
), rev
(r
), capacity
(c
), cost
(co
) {}
};
vector<Edge> graph[MAXN];
void addEdge
(int u, int v, int cap, int cost
) {
graph[u].push_back
(Edge
(v, graph[v].size
(), cap, cost
));
graph[v].push_back
(Edge
(u, graph[u].size
() - 1, 0, -cost
));
}
int dist[MAXN], inqueue[MAXN], pre[MAXN], record[MAXN];
bool
spfa(int s, int t
) {
queue<int> q;
memset
(dist, 0x3f, sizeof
(dist
));
memset
(inqueue, 0, sizeof
(inqueue
));
dist[s] = 0;
q.push
(s
);
while
(!q.empty
()) {
int u = q.front
();
q.pop
();
inqueue[u] = 0;
for
(int i = 0; i < graph[u].size
(); i++
) {
Edge &e = graph[u][i];
if
(e.capacity > 0 && dist[e.to] > dist[u] + e.cost
) {
dist[e.to] = dist[u] + e.cost;
pre[e.to] = u;
record[e.to] = i;
if
(!inqueue[e.to]
) {
q.push
(e.to
);
inqueue[e.to] = 1;
}
}
}
}
return dist[t] < INF;
}
int minCostMaxFlow
(int s, int t, int maxf
) {
int flow = 0, cost = 0;
while
(spfa(s, t
)) {
int delta = INF;
for
(int i = t; i != s; i = pre[i]
) {
Edge &e = graph[pre[i]][record[i]];
delta = min
(delta, e.capacity
);
}
for
(int i = t; i != s; i = pre[i]
) {
Edge &e = graph[pre[i]][record[i]];
e.capacity -= delta;
graph[e.to][e.rev].capacity += delta;
cost += delta * e.cost;
}
flow += delta;
}
return cost;
}
int main
() {
int n, k;
cin >> n >> k;
// 构建图的逻辑
// 添加源点、汇点以及相应的边
// 调用 addEdge 函数添加边
// 输出结果
cout << minCostMaxFlow
(0, 2 * n + 1, k
);
return 0;
}
```
上述代码框架中，`addEdge` 函数用于向图中添加边，`minCostMaxFlow` 函数用于计算最小费用最大流[^3]。实际实现中，需要根据问题的具体输入构造图的结构，并合理设置源点和汇点的连接方式。
### 优化与复杂度分析
- **时间复杂度**：Dinic 算法的时间复杂度为 $O
(N^2M
)$，其中 $N$ 为节点数，$M$ 为边数。对于稀疏图，该算法表现良好。
- **空间复杂度**：取决于图的规模，通常为 $O
(N + M
)$。
### 注意事项
- 需要特别注意线段端点的处理，尤其是重叠点的判定。
- 图的构建必须严格符合题意，否则可能导致错误的最小割或最大流计算。
- 在多次查询的情况下，可以考虑对图进行预处理以提高效率。
本文介绍了使用SPFA算法解决有向无环图中最长路问题的方法。详细讲解了题目要求，输入输出格式，并提供了样例及解题思路。通过将最短路算法稍作修改，可以找到从顶点1到顶点n的最大路径长度。
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