[组合数学]51 Nod 1486——大大走格子

最新推荐文章于 2019-12-06 21:23:31 发布

CHN_JZ

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本文介绍了一种计算带有障碍的棋盘上从起点到终点的不同路径数量的算法。通过组合数学的方法，先计算无障碍时的路径数，再逐个减去因障碍而无法通行的路径数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。

解题思路

如果不考虑障碍，那么从起点走到（x,y）的方案数为 $C^{x-1}_{x+y-2}$

加入障碍，考虑每个障碍对后面点的影响就可以了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=2005,tt=1000000007,maxm=200005;
struct jz{
    int x,y;
    LL w;
    bool operator<(const jz &b)const{
        if (x==b.x) return y<b.y;
        return x<b.x;
    }
}a[maxn];
LL ji[maxm];
int n,m,tot;
LL qsm(LL w,int b){
    LL num=1;
    while(b>0){
        if (b%2==1) num=(num*w)%tt;
        w=(w*w)%tt;
        b>>=1;
    }
    return num;
}
void work(){ji[0]=1;for (int i=1;i<=200000;i++) ji[i]=(ji[i-1]*i)%tt;}
LL c(int x,int y){return (ji[x+y]*qsm(ji[x]*ji[y]%tt,tt-2))%tt;}
int main(){
    freopen("exam.in","r",stdin);
    freopen("exam.out","w",stdout);
    work();scanf("%d%d%d",&n,&m,&tot);
    for (int i=1;i<=tot;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    a[++tot].x=n;a[tot].y=m;sort(a+1,a+1+tot);
    for (int i=1;i<=tot;i++) a[i].w=c(a[i].x-1,a[i].y-1);
    for (int i=1;i<tot;i++)
    for (int j=i+1;j<=tot;j++)
    if (a[j].x>=a[i].x&&a[j].y>=a[i].y) a[j].w=(a[j].w-a[i].w*c(a[j].x-a[i].x,a[j].y-a[i].y)%tt+tt)%tt;
    printf("%lld\n",a[tot].w);
    return 0;
}