51nod 1486 大大走格子（组合数学+容斥）

最新推荐文章于 2022-02-26 16:52:46 发布

so_so_y

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分类专栏： 51nod 数论

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本文介绍了一种计算从棋盘左上角到右下角的路径数量的方法，考虑到某些格子不可通过的情况。利用组合数学原理，通过递推公式计算有效路径数，并通过实例演示了算法的具体实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

Input

单组测试数据。
第一行有三个整数h, w, n(1 ≤ h, w ≤ 10^5, 1 ≤ n ≤ 2000)，表示棋盘的行和列，还有不能走的格子的数目。
接下来n行描述格子，第i行有两个整数ri, ci (1 ≤ ri ≤ h, 1 ≤ ci ≤ w)，表示格子所在的行和列。
输入保证起点和终点不会有不能走的格子。

Output

输出答案对1000000007取余的结果。

Input示例

3 4 2
2 2
2 3

Output示例

解题思路

用ans[i]代表从起点走到第i个障碍格子且中间不经过其他障碍格子的方案数(终点也要算作障碍格子)，
则ans[i]= $C_{x[i]+y[i]-1}^{x[i]-1}+\sum_{j=0}^{i}(C_{x[i]-x[j]+y[i]-y[j]}^{x[i]-x[j]}*ans[j])$ .
具体思考过程：
这里写图片描述
要计算从坐上角走到右下角的方案数，我们可以借助不能走的地方来过渡进行计算，如图所示为一个4*8的网格，①②为不能走的格子，我们求解的思路可以转化为：
先求解（起点->①）方案数= $C_{x1+y1-2}^{x1-1}$ ;
再求解（起点->②）=先忽略①存在求得的（起点->②）-（起点-> ①）*（①->②）= $C_{x2+y2-2}^{x2-1}-①*C_{x2-x1+y2-y1}^{x2-x1}$ ；
最后可得（起点->终点）=忽略①②求得的（起点->终点）-（起点->①） $*$ （①->终点）-（起点->②） $*$ （②->终点）= $C_{xh+yw-2}^{xh-1}-①*C_{xh-x1+yw-y1}^{xh-x1}-②*C_{xh-x2+yw-y2}^{xh-x2}$ 。
如此类推即可.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2007
#define maxx 100007*2
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
ll ans[maxn],fac[maxx],inv[maxx];
struct node
{
    int x;
    int y;
}point[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    if(a.x==b.x)
        return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}
ll quick_pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    a%=mod;
    while(b>0)
    {
        if(b%2)
            ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<maxx;i++)
    {
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
        inv[i]=quick_pow(fac[i],mod-2);
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int h,w,n;
    cin>>h>>w>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>point[i].x>>point[i].y;
    point[n].x=h,point[n].y=w;
    sort(point,point+n+1,cmp);
    init();
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int tx1=point[i].x,ty1=point[i].y;
        ans[i]=fac[tx1+ty1-2]*inv[tx1-1]%mod*inv[ty1-1]%mod;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            int tx2=point[j].x,ty2=point[j].y;
            if(tx2>tx1||ty2>ty1) continue;
            ans[i]=ans[i]-ans[j]*(fac[ty1-ty2+tx1-tx2]*inv[tx1-tx2]%mod*inv[ty1-ty2]%mod)%mod;
            ans[i]=(ans[i]%mod+mod)%mod;
        }
    }
    cout<<ans[n]<<endl;
    return 0;
}