NIM博弈证明

一：结论

若$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n\ne 0$ 则先手($R$)赢
否则 先手($R$)输

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二：证明 (数学归纳法)

(1): 定义

令
$$tem=a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n$$

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(2):具体过程

①证明：若$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n\ne 0$ 则当前先手($R$)赢

首先，$tem$ 的二进制最高位必定在 $a_i(i\in [1,n])$ 的同一位上出现

满足条件的一个 $a[i](i\in [1,n])$ 记作x，将 $tem$ 减去 $tem$ 二进制最高位转换成十进制的值记作 $temp$

易知：$temp<=x$

当 $R$ 选择改变 $x$ 时，我们将 $x$ 减去 $temp$，这时 $a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n=0$

即证: 若$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n=0$，则当前先手 ($J$) 输。

转换成②

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②
证明: 若$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n=0$，则当前先手 ($J$) 输。

$J$任意选择一堆拿走一堆牌

则 $a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n\ne 0$

即证：若$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n\ne 0$ 则当前先手($R$)赢

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结论：当最后都拿完时：$a_{1}xor{a}_{2}xor{a}_3...xor{a}_n=0$，则上一次拿牌的人是先手 ($R$)，所以 $R$ 赢

反之亦然，即证