尼姆(Nim)博弈策略的完整数学证明

最新推荐文章于 2025-04-15 11:53:15 发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Mera_King/article/details/97559243
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这篇博客详细探讨了尼姆博弈的策略，并通过结合2.3、2.4及1.2中的关键结论，提供了完整的数学证明过程，揭示了游戏背后的获胜策略。

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尼姆博弈策略的完整数学证明


首先来解释一下，为什么要写这篇博客。其实，优快云上已经能够搜索到很多Nim博弈的论述。大部分文章关注点都只是定义和方法，偶有附带代码的。下面这个链接包含了关键数学环节，但是整篇的论述逻辑层次并不清晰，给出了过多的定理。
https://blog.youkuaiyun.com/shuangde800/article/details/7443566
本文的目的则是给出简洁有效的Nim博弈的结论证明。
1.概述
1.1 尼姆博弈定义
有N堆物品，每堆数量已知。甲乙双方轮流取物，甲先取。每次只能从其中某一堆取物件，至少取一个，取走最后一个物品的是胜利者。请问甲或者乙是否存在必胜策略。
1.2 基本结论
设N堆物品的数量分别为a 1, a 2,…a N,定义 SG ({a 1, a 2,…a N})=a 1 XOR a 2 XOR … XOR a N，其中XOR 表示二进制按位异或。如果SG=0,则定义当前状态为N-Position,反之，如果SG≠0，则定义当前状态为P-Position。特别的，当a i全为0，按照定义为N态，此时取物品的玩家没有物品可取，则认为最后一个物品被上一个玩家取走&
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Mera_King
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尼姆博弈的证明
k_koris的博客
08-16 1096
结论：将所有堆的石子异或起来，如果等于0先手必败，否则先手必胜。 为什么？   首先当石子堆数只有2堆时候，它们异或值为0 当且仅当它们完全相等，那么显而易见了，你先取多少个，对手就取多少个，这样先手一定必败。 那么石子是3堆，4堆，5堆...呢？ 我用一个excel表来表示几堆石子的异或值。   我任意放5堆石子    假设是189 91 98 5 80     由图可知...
#博弈论 #公平组合游戏（ICG） #尼姆游戏(NIM) 20.09.06
仅仅是笔记。
10-10 2711
博弈论 一、Nim游戏 AcWing 891. Nim游戏 题目 给定n堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。 问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。 输入格式 第一行包含整数n。 第二行包含n个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。 输出格式 如果先手方必胜，则输出“Yes”。 否则，输出“No”。 数据范围 1≤n≤105, 1≤每堆石子数≤109 输入样例： 2 2 3 输出样例： Y
关于nim博弈的证明。
V4yne.的博客
09-21 472
nim博弈我们大家都很熟悉，那么为什么nim博弈中石子数异或起来和为0就是先手必败，非0就是先手必胜呢，想必大家都有过这个疑问。 很多人都知道这个结论，但是却很少人知道证明过程。 其实nim博弈的证明过程是一种对称博弈。 我们知道如果异或和是0，先手必败。考虑异或和是0的意义，异或和是0代表着对于所有石头数的每一位二进制上的数字都有偶数个1。那么无论先手怎么操作拿掉哪堆石头里的多少个数量，后手都可以拿去对应的石头数量使得剩下的石头数的每一位二进制上的数字都有偶数个，其实就是一种对称博弈。 后手采取最终对称博
简单博弈论学习笔记
最新发布
weixin_42366947的博客
04-15 1102
博弈游戏，也有很多人把它叫做博弈论，但是博弈论的英文确实和 Game 这个词有关，所以也可以说是博弈游戏可以看作是一个（例如 数论、图论、或者是概率论），它的板块非常非常大。所以这篇文章所写的可能只是很小的一部分，这里先开一个坑，我以后再来填写。如果我没有听错的话，博弈游戏的全部介绍的书，好像有 800 多页。所以我们这些人学的都是冰山一角。
ICG博弈_尼姆博弈（Nim Game）及证明
单眼皮根号三的博客
10-03 1608
这是最后一篇ICG博弈，尼姆博弈，对比前面的巴什博弈和威佐夫博弈，尼姆博弈的玩法更加自由化，因此想赢的过程也更加复杂。   如果没有了解过巴什博弈和威佐夫博弈的，建议先看上两篇 ：巴什博弈及证明   威佐夫博弈及证明 尼姆博弈（Nimm Game）   目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：   ①每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部...
Nim 博弈（证明）
weixin_45758110的博客
09-13 357
题目：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则此人输掉了游戏 以下为针对这个问题的三条定理；(以下设每堆数目为a1~ai) ①0^0^0^0^0^0^0...^0=0(当所有对都为0时); ②如果当前a1^a2^a3^ai...^an=x; 则可通过一次操作从某堆中取出石子将其转变为 a1^a2^a3^ai‘...^an=0; ③如果当前a1^a2^a3^ai...^an=0；则不能通过一次操作再使a
NIM博弈证明
lb2003
05-05 606
古代的Nim⁡\operatorname{Nim}Nim取石子游戏是由两个人面对若干堆石子进行的游戏。 设有n≥2n\ge 2n≥2堆石子，各堆分别含有A1、A2⋯AnA_1、A_2\cdots A_nA1​、A2​⋯An​个石子。 游戏的目的就是选取最后剩下的石子。游戏规则如下: 游戏人交替进行游戏 当轮到每个游戏人取子时，选择这些石子中的一堆，并从所选的堆中取走至少一个石子 (游戏人也可以取...
巴什博弈与变型：从获胜策略到尼姆博弈解析
尼姆博弈（Nim Game）则涉及多堆不同数量的石子，玩家同样轮流取石子，每次可以从任意一堆中取任意数量，但不能不取。尼姆博弈的关键在于计算各堆石子的二进制异或和，如果异或和为0，先手必败；否则，先手可以通过...
探索Nim游戏：数学策略的经典对决
此外，尼姆游戏的策略研究也涉及到了博弈论中的Nim策略和Minimax算法等概念。 当前版本的Nim游戏实现了一个简单的CPU对手，它使用随机策略来选取堆和移动的物品数量。这种实现虽然简单，但它为玩家提供了一个基础的...
Nim游戏的图形化攻略：用图解快速把握博弈策略
Nim游戏作为一种经典的数学策略游戏，不仅具备深厚的数学理论基础，也反映了博弈论中的重要概念。本文首先介绍了Nim游戏的基本规则及其对参与者策略思维能力的培养意义，随后深入探讨了游戏的策略，从基础的数学模型...
(转载)Nim游戏博弈(收集完全版)
lethic的专栏
10-06 3580
Nim游戏的概述： 还记得这个游戏吗？ 给出n列珍珠，两人轮流取珍珠，每次在某一列中取至少1颗珍珠，但不能在两列中取。最后拿光珍珠的人输。 后来，在一份资料上看到，这种游戏称为“拈（Nim）”。据说，它源自中国，经由被贩卖到美洲的奴工们外传。辛苦的工人们，在工作闲暇之余，用石头玩游戏以排遣寂寞。后来流传到高级人士，则用便士（Pennies），在酒吧柜台上玩。 最有名的玩法，是把十二枚便
（转）博弈
surfacedust的专栏
08-21 601
取火柴的游戏 2007-03-25 21:43 题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，  可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。  题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，  可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。 嘿嘿，这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏：第一档拨一个，第二档拨两个，依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来，谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这
NIM博弈的简洁证明
jziwjxjd的博客
02-17 296
P2197 【模板】nim游戏 nnn个正整数按位相加,不进位 若每一位都是偶数即为偶状态,否则成为奇状态 显然,结束状态是偶状态 任意偶状态必须转移到奇状态 这个非常显然,我任取一个数xxx把他变成yyy 一定有若干位的二进制从111变成了000或者从000变成了111 所以转移到了奇状态 任意奇状态总有办法转移到偶状态 设这个奇状态在nnn个二进制位上的奇的,从高位到低位分别是id1,id2,id3...idnid_1,id_2,id_3...id_nid1​,id2​,id3​...idn​ 那么一定
POJ 2975 Nim题解
初学者
01-18 1890
【题意】： 给定一种Nim状态（相当于含N堆石头），求能有几种方法能通过调整某一堆石头的状态（只准取出），使新的Nim状态为必败态。（或者说求出所给的Nim游戏状态有多少种方法能够赢） 【分析】： Nim游戏是什么，参见百度百科：百度百科_Nim 在证明Nim游戏的SG函数的“根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position”命题时，有这么一段证明：对于某
ACM中的博弈论入门（七） NIM的证明
under_sky_dxj的博客
07-17 401
额，这是我个人折腾的证明…… 要证明： ———————————————————————— A1^A2^A3^A4……^An==k k!=0 必然存在一个 A【i】 可以调整A【i】使得 A1^A2……^A【i】^……^An==0 ———————————————————————— 那么，方法是 【针对二进制，从高位向低位，找到第一个存在奇数个1的位置，所有的位置是1的，都可以作
NIM的证明 简洁详细额
我的博客
11-21 301
设n堆石子 1 设开始所有石子堆的异或和 的 最高位为i，则有一堆石子的第i位 为1(严格来说是有 奇数个 第i位为1的 ,不然 异或和 的第i位 无法为1) 2 设A是 1中的那堆石子，剩余堆石子的异或和设为x，总异或和设为k，则 A xor x=k，先手进行了一步后 ,将A变成A xor k，那么后手的情况就是（A xor k）xor x=0 // xor是 异或的意思 举个例子: 11001 xor 11100=101，则（11001 xor 101）xor 11100=0 3 如果现在的异或和为0（
尼姆博奕
Dear_Jia的博客
05-04 557
有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论自己如何拿，接下来对手都可...
尼姆博弈
最爱晴天和自己的博客
10-14 694
下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。 现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家： ——“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？” Input 输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1<M...
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