RMQ

ST表

void build () {
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = a[i];
    for (int len = 1; (1 << len) <= n; len++) {
        for (int l = 1; l + (1 << len) - 1 <= n; l++) {
            f[l][len] = Max (f[l][len - 1], f[l + (1 << len - 1)][len - 1]);
        }
    }
}

int RMQ (int l, int r) {
    int k = log (r - l + 1) / log (2);
    return Max (f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是指在给定的一个序列中,多次查询某个区间内的最小值或最大值的问题。这类问题在计算机科学中有广泛的应用,尤其是在需要高效处理大量数据的情况下。 ### 原理 RMQ问题可以通过多种算法来解决,其中最著名的是稀疏表(Sparse Table, ST)算法。ST算法的核心思想是利用动态规划预先计算出所有可能的区间长度为$2^j$的区间的最小值或最大值,这样可以在常数时间内完成每次查询[^3]。具体来说,对于一个数组`A`,我们构建一个二维数组`f`,其中`f[i][j]`表示从位置`i`开始,长度为$2^j$的区间中的最小值或最大值。预处理阶段的时间复杂度为$O(n \log n)$,而查询阶段的时间复杂度为$O(1)$[^4]。 ### 实现方法 #### 预处理 预处理阶段主要是填充`f`数组。假设原数组`A`的长度为`n`,则对于每个`i`从`1`到`n`,以及`j`从`1`到$\log_2(n)$,我们有: $$ f[i][j] = \min(f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]) $$ 这里的`min`可以替换为`max`,取决于我们需要求解的是最小值还是最大值。此外,还需要计算对数表`log_table`,用于后续查询时确定合适的`k`值,即最大的整数使得$2^k \leq r-l+1$。 ```cpp // 初始化log_table for (int i = 1; i <= n; ++i) { log_table[i] = floor(log(i) / log(2)); } ``` #### 查询 当进行查询时,给定区间`[l, r]`,我们可以找到最大的整数`k`使得$2^k \leq r-l+1$。然后,使用预处理好的`f`数组来获取两个长度为$2^k$的区间的最小值或最大值,并取这两个值中的最小值或最大值作为最终结果。 ```cpp // 查询[l, r]区间内的最小值 int query(int l, int r) { int len = r - l + 1; int k = log_table[len]; return min(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]); } ``` 上述代码片段展示了如何通过预处理和查询来实现RMQ问题的解决方案。需要注意的是,这里的`min`函数也可以被替换成`max`函数,以适应不同的需求。此外,实际应用中还需要考虑边界条件和其他细节[^5]。
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