Tarjan求割点

割点

定义

在一个无向图中，若割掉点 $u$ 后会把这个图中的连通快数量增加至两个及以上，则称点 $u$ 是割点。

割点的求法

方法一

首先考虑暴力。

考虑暴力枚举每一个节点，将其删去，再跑一边 dfs，判断连通块的数量：若变多，则说明该点是割点；否则不是。

时间复杂度 $O(n\times (n+m))$，无法满足我们对时间的需求。

方法二

回忆我们在有向图的强连通性中的 Tarjan 算法，那么我们的无向图是否也能使用 Tarjan 算法呢？

答案是可以的，实现方法如下：

对一个连通图 $G$ 进行深搜，可以得到一颗 dfs 生成树（对应的时间戳使用 $dfn$ 数组进行储存）。

此外，我们再记录一个数组 $low$，表示在搜索树中，不经过该节点的父亲能够到达的最小的时间戳。

根据 dfs 生成树的搜索顺序，我们可以知道：一个节点的 $dfn$ 值一定是大于该节点在 dfs 生成树中的子节点的 $dfn$ 值。

知道了这些，我们再进行 dfs，判断一个点是否是割点的根据时：对于一个点 $u$，若存在至少一个顶点 $v$（$u$ 的儿子），使得 $lo{w}_v\ge df{n}_u$，则点 $u$ 为割点。

另外，我们还需要特判一种情况：搜索的起始点。

洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int dfn[N],low[N],n,res,idx;
bool vis[N],flag[N];
vector<int> edge[N];
void Tarjan(int u,int fat)
{
	vis[u]=true;
	low[u]=dfn[u]=++idx;
	int child=0;
	for(const auto &v:edge[u])
	{
		if(!vis[v])
		{
			child++;
			Tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(fat!=u&&low[v]>=dfn[u]&&!flag[u])
			{
				flag[u]=true;
				res++;
			}
		}
		else if(v!=fat)
		{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(fat==u&&child>=2&&!flag[u])
	{
		flag[u]=true;
		res++;
	}
}
int m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		edge[x].push_back(y);
		edge[y].push_back(x);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			idx=0;
			Tarjan(i,i);
		}
	}
	cout<<res<<"\n";
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(flag[i]) cout<<i<<" ";
	}
}