二项式反演四种形式及其中一种的证明

原创于 2025-08-17 11:39:45 发布 · 834 阅读

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二项式反演

二项式反演的题通常有一个比较复杂的问题 $f (n)$ ，难以直接求解，通过构造一个比较简单的问题 $g (i)$ 以及 $f (n)$ 和 $g (i)$ 的关系求出 $f (n)$ 。

二项式反演的四种形式

形式一：
$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}g(i)$

形式二：
$g(n)=\sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix} f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}g(i)$

形式三：
$g(n)=\sum_{i=n}^{N}(-1)^i\begin{pmatrix} i\\ n \end{pmatrix} f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum_{i=n}^{N} (-1)^{i} \begin{pmatrix} i\\n \end{pmatrix}g(i)$

形式四：
$g(n)=\sum_{i=n}^{N}\begin{pmatrix} i\\ n \end{pmatrix} f(i)\Longleftrightarrow f(n)=\sum_{i=n}^{N} (-1)^{i-n} \begin{pmatrix} i\\n \end{pmatrix}g(i)$

其中，形式二和形式四最为常用。

另外，请不要试图使用容斥原理理解这四个公式，那会十分复杂。

上面公式的证明

前置芝士：二项式系数恒等式

$(ji)(in)=(jn)(j−nj−i)\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j-n\\j-i\end{pmatrix}$

证明：

尝试展开左右两边的每一项。
$\begin{aligned} \begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\n \end{pmatrix} &=\frac{j!}{i!(j-i)!}·\frac{i!}{n!(i-n)!}\\ &= \frac{j!}{(j-i)!n!(i-n)!} \end{aligned}\\$

$\begin{aligned} \begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j-n\\j-i\end{pmatrix}&=\frac{j!}{n!(j-n)!} ·\frac{(j-n)!}{(j-i)!(i-n)!}\\ &= \frac{j!}{(j-i)!n!(i-n)!} \end{aligned}$

由此可得， $(ji)(in)=(jn)(j−nj−i)\begin{pmatrix}j\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\\n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}j\\n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j-n\\j-i\end{pmatrix}$