有向图的强连通性

有向图的强连通性

一些定义

1. 强连通图

强连通图是指一个图内任意两点 $u$ 和 $v$ 能够相互到达的图。若 $G$ 中任意两点都可以互相到达，则称图 $G$ 是强连通图。

2. 强连通分量

若一个图 $G$ 不是强连通图，那么就可以把它分成一些子图，使得这些子图是强连通图，且这些子图不能继续扩大，即不能与其他节点强连通，则称这个子图是 $G$ 的一个强连通分量（$StronglyConnectedComponent$，$SCC$）。

求强连通分量的算法

算法一：Kosaraju

为什么这么做我就不讲了（主要讲讲 $tarjan$），直接写解题步骤吧（逃

1. 储存原图 $G$ 和反图 $rG$;
2. 在 $G$ 中 $dfs$ 一下，$dfs$ 顺序无关，记录 $dfs$ 回溯的顺序，回溯的顺序代表优先级，优先级递增；
3. 根据优先级，从高到低在反图 $rG$ 中 $dfs2$，每次会得到一个 $SCC$，记录每个节点属于 $SCC$ 的编号和 $SCC$ 的个数。

代码

代码请参考 oi-wiki

手动狗头

回归正题！

算法二：Tarjan

DFS 生成树

在说 $Tarjan$ 之前，必须先说说 $DFS$ 生成树。

$DFS$ 生成树有一下几种边：

1. 树边 (tree edge)：每次搜索访问到一个还没被搜索过的点时就形成了一条树边；
2. 反祖边 (back edge)：即指向祖先节点的边；
3. 横叉边 (cross edge)：即一个节点 $u$ 在搜索时搜索到一个已经被遍历过的节点 $v$，但该节点 $v$ 并非 $u$ 的祖先；
4. 前向边（forward edge）：是搜索时遇到该节点的自述中的一个节点形成的。

DFS 生成树与强连通分量的关系

如果结点 $u$ 是某个强连通分量在搜索树中遇到的第一个结点，那么这个强连通分量的其余结点肯定是在搜索树中以 $u$ 为根的子树中。结点 $u$ 被称为这个强连通分量的根。

算法概述

Tarjan 算法是由 Robert Tarjan 在 1972 年提出的基于深度优先搜索的算法，主要用于求解有向图的强连通分量 (Strongly Connected Components, SCC)。该算法在线性时间$O(V+E)$内解决问题，是图论中的经典算法。

Tarjan 算法是一种基于深度优先搜索的线性时间算法，用于寻找有向图的强连通分量。

几个比较重要的量

• $df{n}_i$ 记录在 DFS 中 $i$ 号节点遍历的顺序（dfn 序）
• $lo{w}_i$ 记录 $i$ 号节点最早能够回溯到的最早的栈中节点的时间戳
• $stack$ 在本节点的搜索路径上的节点
• $in\_stac{k}_i$ 标记节点 $i$ 是否在栈中

具体代码实现（SCC计数）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int h[N],e[N],ne[N],idx=1;
int dfn[N],low[N],sccno[N],timestamp;
int stk[N],top;
int n,m,scc_cnt;
void connec(int x,int y)
{
	e[idx]=y;
	ne[idx]=h[x];
	h[x]=idx++;
}
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++timestamp;
	stk[top++]=x;
	for(int i=h[x]; i; i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		if(!dfn[j])
		{
			tarjan(j);
			low[x]=min(low[x],low[j]);
		}
		else if(!sccno[j])
		{
			low[x]=min(low[x],dfn[j]);
		}
	}
	if(dfn[x]==low[x])
	{
		scc_cnt++;
		while(1)
		{
			int tem=stk[--top];
			sccno[tem]=scc_cnt;
			if(x==tem) break;
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	timestamp=scc_cnt=top=0;
	idx=1;
	memset(h,0,sizeof(h));
	memset(e,0,sizeof(e));
	memset(ne,0,sizeof(ne));
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(low,0,sizeof(low));
	memset(sccno,0,sizeof(sccno));
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		connec(x,y);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(!dfn[i])
		{
			tarjan(i);
		}
	}
	cout<<scc_cnt;
	
	return 0;
}