傅里叶级数的推导

具体内容都是参照这个链接

这个笔记是我在看这个视频之前记的，记完后感觉晕晕乎乎的，后来看了这个视频，是真的不错！！！忽然之间，醍醐灌顶，感谢UP主。
视频地址

傅里叶级数公式

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+a_{1}cos(wt)+b_{1}sin(wt)+a_{2}cos(2wt)+b_{2}sin(2wt)+...=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

推导过程

这是一个三角函数
$$f(t)=Asin(wt+\psi )\text{\hspace{1em}(4)}$$

一系列三角函数之和可以表示一个复杂的周期函数，这里就是傅里叶级数的基本思想，具体式子如下

$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(nwt+{\psi }_n)\text{\hspace{1em}(5)}$$

对$(5)$做如下变形：
$$A_{n}sin(nwt+{\psi }_n)=A_{n}sin{\psi }_{n}cos(nwt)+A_{n}cos{\psi }_{n}sin(nwt)$$

将$A_{n}sin{\psi }_n$写成$a_n$、$B_{n}sin{\psi }_n$写成$b_n$，公式$(5)$就可以写成如下公式$(6)$的形式：看看它是不是和$(1)$式一摸一样呢，发现这里前面是$A_0$,而$(1)$式前面是$\frac{a_0}{2}$，傅里叶级数为了统一分母令$A_0=\frac{a_0}{2}$,后面会讲到
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(6)}$$

这里的$A_0$、$a_n$、$b_n$都是常数
所以我们只要解出$A_0$、$a_n$、$b_n$的值即可。

至此，傅里叶级数的推导就结束了，原博客写了一大堆，我是边看边记笔记，笔记都记完了，到后来看了那个视频才发现，推导到这里就已经结束了，下面的都是求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的过程

这里顺便说说求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的大致思路，方便归纳总结
求$A_0$就是对$(6)$式子两边同时进行积分，可以得到$f(t)$与$A_0$的关系了
求$a_n$就是对$(6)$式乘以$cos(kwt)$之后再求积分
而$b_n$就是对$(6)$式乘以$sin(kwt)$之后再求积分

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麦克劳林公式中的待定系数法

这里，我不太明白在这个公式，与求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的过程有什么关系，但是，还是记录了一下

泰勒级数都可以用一个多项式来逼近
$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+\dots \end{array}$$

那么，麦克劳林公式
$$f^{\prime }(x)=B+2Cx+3D{x}^2$$

$$f^{\prime \prime }(x)=2C+6Dx$$

$$\dots \dots$$

在每个等式中令$x=0$,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值
$$\begin{array}{rl}& A=f(0)\\ & B=f^{\prime }(0)\\ & C=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\\ & D=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{1\times 2\times 3}\end{array}$$

$$N=\frac{f^n(x)}{n!}$$

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三角函数的正交性：

看 DR_CAN 的那个视频

三角函数系，它是一个集合，如下
{ 1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , ⋯   , cos ⁡ n x , sin ⁡ n x , ⋯   } \{1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots \} {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯}

在三角函数系中，任意2个不同函数之积在$[-\pi ,\pi ]$上的积分等于0，即（后面有证明）

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cdot \cos nxdx=0(k,n=1,2,3,\dots ;k\ne n)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cdot \cos nxdx=0(k,n=1,2,3,\dots ;k\ne n)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cdot \sin nxdx=0(k,n=1,2,3,\dots ;k\ne n)$$

注：当$k=n$时:有

$${\int }_{-\pi }^{\pi }si{n}^{2}nx={\int }_{-\pi }^{\pi }co{s}^{2}nx={\int }_{-\pi }^{\pi }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2nx)dx=\frac{1}{2}x{|}_{-\pi }^{\pi }+\frac{1}{4}\sin 2nx{|}_{-\pi }^{\pi }=\pi$$

‌二角和差公式

因此
$$\sin [(k+n)x]=\sin kx\cos nx+\cos kx\sin nx$$

证明

有如下式子

1 2 { sin ⁡ [ ( k + n ) x ] + sin ⁡ [ ( k − n ) x ] } = sin ⁡ k x ⋅ cos ⁡ n x \frac{1}{2} \{ \sin [(k+n) x]+\sin [(k-n) x] \} = \sin k x \cdot \cos n x 21​{sin[(k+n)x]+sin[(k−n)x]}=sinkx⋅cosnx

1 2 { cos ⁡ [ ( k + n ) x ] + cos ⁡ [ ( k − n ) x ] } = cos ⁡ k x ⋅ cos ⁡ n x \frac{1}{2} \{ \cos [(k+n) x]+\cos [(k-n) x] \} = \cos k x \cdot \cos n x 21​{cos[(k+n)x]+cos[(k−n)x]}=coskx⋅cosnx

− 1 2 { cos ⁡ [ ( k + n ) x ] − cos ⁡ [ ( k − n ) x ] } = sin ⁡ k x ⋅ sin ⁡ n x -\frac{1}{2} \{ \cos [(k+n) x] - \cos [(k-n) x] \} = \sin k x \cdot \sin n x −21​{cos[(k+n)x]−cos[(k−n)x]}=sinkx⋅sinnx

举例证明第2个：${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cdot \cos nxdx=0(k,n=1,2,3,\dots ;k\ne n)$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cdot \cos nxdx& =\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }(\cos [(k+n)x]+\cos [(k-n)x])dx\\ & ={\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (k+n)x}{k+n}+\frac{\sin (k-n)x}{k-n}\right]|}_{-\pi }^{\pi }\\ & =\frac{1}{2}[0+0]=0\end{array}$$

这里再补充一个概念，之后要用到：三角函数在一个周期内的积分为0，即
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0(n=1,2,3,\dots )$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx=0(n=1,2,3,\dots )$$

求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的过程

$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(6)}$$

求$A_0$（周期为2$\pi$）

对$(6)$式进行积分，从 $-\pi$ 到 $\pi$ 积分（蓝色字体的内容），得：

后面的积分为 0，可以舍去，之后求 a_0 的积分，就可以了

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt& ={\int }_{-\pi }^{\pi }{A}_{0}dt+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin (n\omega t)\right]dt\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }{A}_{0}dt+0\\ & ={A_{0}x|}_{-\pi }^{\pi }\\ & =(\pi -(-\pi ))A_0\\ & =2\pi A_0\end{array}$$

$$\therefore A_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt$$

求 $a_n$、$b_n$（周期为2$\pi$）

用$cos(kwt)$乘$(6)$，然后再求，从 $-\pi$ 到 $\pi$ 积分，得：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \cos (k\omega t)dt=& A_0{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (k\omega t)dt+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n\omega t)\cdot \cos (k\omega t)dt+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (n\omega t)\cdot \cos (k\omega t)dt\right]\end{array}$$

根据三角函数系的正交性，红色字体，积分为 0

蓝色字体，当且仅当 $k=n$ 时积分不为 0 ，蓝色字体，积分，才不为 0，所以有：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \cos (k\omega t)dt& =a_n\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (k\omega t)\cdot \cos (n\omega t)dt\\ & =a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(n\omega t)dt\\ & =\frac{a_n}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }(1+\cos 2n\omega t)dt\\ & =\frac{a_n}{2}\left({\int }_{-\pi }^{\pi }1dt+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos 2n\omega tdt\right)\\ & =\frac{a_n}{2}\cdot 2\pi \\ & =a_n\pi \end{array}$$

$$\therefore a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n\omega t)\cdot f(t)dt(k=n)$$

同理用$sin(kwt)$乘$(6)$式的二边得：
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (n\omega t)\cdot f(t)dt(k=n)$$

至此，我们已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，如下

$$\begin{array}{rl}& f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\\ & a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt\\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n\omega t)\cdot f(t)dt(k=n)\\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (n\omega t)\cdot f(t)dt(k=n)\end{array}$$