三大变换与自控（二）傅里叶级数的复数形式推导

上一篇文章简单介绍了傅里叶级数，这一篇我们将傅里叶级数进行复数形式的推导，把公式里的三角函数全部转化为指数，进而得到傅里叶变换。

在开始傅里叶变换的推导前，我们先使用欧拉公式把傅里叶级数变成指数形式的，因为指数的积分微分更简单。

关于欧拉公式网上有很多推导视频，如果不想看纯数学推导的同学，可以参考这张图：

这个螺旋前进的轨迹，从侧面看是三角函数，从复数域看是个圆。因此，这个螺旋前进的轨迹从不同方向看，蕴含了不同的信息。把自然底数e，虚数i，π，0,和1紧密地联系了起来，可以说是一个公式就描述了数学世界的底层逻辑，非常简洁优美。

正所谓横看成岭侧成峰，我们的傅里叶变换也是如此，一个信号从时域看和从频域看是截然不同的，但时域频率又紧密相关。

就像欧拉公式把三角函数转变成圆一样，我们也可以通过数学手段将时域转变为频域。甚至发散一下，我们可以从三维空间去绘制一个螺旋前进的轨迹来综合描述三角函数和圆，那么我们也可以从三维空间去绘制一个图来综合描述频域和时域。这就是三大变换中的拉普拉斯变换，它不仅展现了一个信号的频率组成，同时还展现了一个信号的过去未来的变化趋势。

当计算速度足够快时，我们可以对这个世界所有的东西进行变换，得到它本身的频率，响应等等。神话中佛陀手指一掐可知过去未来，其实把佛陀看作是一台超算加各类感应器，科技修仙不是问题。

好，现在将欧拉公式代入傅里叶级数，得到指数形式的公式：

推导到这里卡住了，接下来要用亿