BZOJ 2150 浅谈二分图Bipartite Graph及DAG最小路径覆盖

最新推荐文章于 2021-09-16 22:53:12 发布

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二分图

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本文通过一道题目介绍了如何将DAG最小路径覆盖问题转化为二分图的最大匹配问题。通过拆点构造二分图，利用最大匹配求解最少需要的军队数量。解析了问题的转换过程和解题思路，强调了二分图在解决此类问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述
世界真的很大
DAG最小路径这种题还是做过很多次了，对模型也较为熟悉
恼火的是每次这种题考试的时候都能被贪心什么的水过去，然而我的正解又常常写挂，导致老是无用武之地
这道题写得快，还是调了一会儿，主要原因是我把x，y坐标看反了。。

看题先：

description：

lanzerb的部落在A国的上部，他们不满天寒地冻的环境，于是准备向A国的下部征战来获得更大的领土。 A国是一个M*N的矩阵，其中某些地方是城镇，某些地方是高山深涧无人居住。lanzerb把自己的部落分成若干支军队，他们约定： 1. 每支军队可以从任意一个城镇出发，并只能从上往向下征战，不能回头。途中只能经过城镇，不能经过高山深涧。 2. 如果某个城镇被某支军队到过，则其他军队不能再去那个城镇了。 3. 每支军队都可以在任意一个城镇停止征战。 4. 所有军队都很奇怪，他们走的方法有点像国际象棋中的马。不过马每次只能走1*2的路线，而他们只能走R*C的路线。 lanzerb的野心使得他的目标是统一全国，但是兵力的限制使得他们在配备人手时力不从心。假设他们每支军队都能顺利占领这支军队经过的所有城镇，请你帮lanzerb算算至少要多少支军队才能完成统一全国的大业。

input：

第一行包含4个整数M、N、R、C，意义见问题描述。接下来M行每行一个长度为N的字符串。如果某个字符是’.’，表示这个地方是城镇；如果这个字符时’x’，表示这个地方是高山深涧。

output：

输出一个整数，表示最少的军队个数。

首先，分析题意，很多个军队在图上跑，每个军队跑的路线不能相交，问最少多少条路径可以把整个图覆盖完
发现军队这种东西他不能往回走且必须从上往下走，就是说任意军队不可能走出一个环然后一直绕，即使说图是有向的且没有环，即有向无环图DAG

问题转化成了DAG的最小路径覆盖
这个问题是有固定模型的，把每个点拆点构造二分图，如果u和v之间有边，就把u+n向v连一条边，这样，答案就是：

最小路径覆盖 -== 顶点数 - 最大匹配

为什么这样是对的？
考虑至少n条路径可以把整个图覆盖完（每个点一条）
如果两个点之间有边，连边的话相当于就可以省下一条路
我没想知道最多可以省多少条路，就是说最多有多少“对”点可以匹配在一起
既然是“对”，自然想到二分图

拆点和染色等等，都是常见的二分图构造方法，要牢记；

完整代码：

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct edge
{
    int v,last;
}ed[2000010];

queue <pair<int,int> > state ;

int n,m,R,C,num=0,ans=0,tot=0,cnt=0;
int head[100010],book[100010],match[100010],fx[4],fy[4],mp[110][110];
char s[100010];

void add(int u,int v)
{
    num++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

int dfs(int u)
{
    for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
    {
        int v=ed[i].v;
        if(book[v]!=tot)
        {
            book[v]=tot;
            if(!match[v] || dfs(match[v]))
            {
                match[u]=v,match[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&R,&C);
    fx[0]=R,fx[1]=R,fx[2]=C,fx[3]=C;
    fy[0]=C,fy[1]=-C,fy[2]=R,fy[3]=-R;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(s[j]=='.') mp[i][j]=1,cnt++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        if(mp[i][j])
        {
            int S=(i-1)*m+j;
            for(int k=0;k<4;k++)
            {
                int x1=i+fx[k],y1=j+fy[k];
                if(x1<=n && x1>=1 && y1<=m && y1>=1 && mp[x1][y1])
                {
                    int T=(x1-1)*m+y1;
                    add(S+n*m,T),add(T,S+n*m);
                }
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(!mp[i][j]) continue ;
            int S=(i-1)*m+j;
            tot++;
            if(!match[S]) ans+=dfs(S);
        }
    printf("%d\n",cnt-ans);
    return 0;
}
/*
Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England
*/

嗯，就是这样