机器人正运动学——学习笔记

原创于 2025-09-30 16:52:41 发布 · 1.7k 阅读

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#机器人 #笔记 #矩阵

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前言

机器人学的机器人正运动学、逆运动学分析等是机器人设计与控制的基础，本文主要是对正运动学的知识框架进行总结，以便后续用到随时查阅。在《机器人学》专栏中，还补充了运动副、刚体位姿描述等知识也是本文的一部分学习基础，如读者朋友需要可以自行查阅。

机器人运动学是从几何角度去描述机器人位置、速度及加速度等特性，不考虑产生运动的力和力矩。运动学建模方法主要有几何建模法、D-H建模法等，其中D-H建模法具有较强适用性，而几何建模一般适用于结构简单的机器人（比如平面机器人），笔记重点讲解D-H建模法描述机器人正运动学。

1. 连杆参数

机器人运动实际就是各个连杆依靠关节将运动传递下去，为了进行运动学建模，首先要做的就是对连杆的参数进行描述：

①由于结构设计不同，关节间的杆形状不同，那么如何定义连杆长度呢？对于上图的连杆 $i-1$ ，将同时垂直于两个关节轴线的这条线段 $a _{i-1}$ 称为连杆长度。

②但只有一个连杆长度参数，不足以定义连杆特征。所以将关节 $i$ 与 $i-1$ 轴向夹角 $\alpha _{i-1}$ 称为扭转角。

如上图所示，如果只有连杆长度与扭转角两个参数，是没有办法准确描述多杆串联的特征的，因此引入了下面两个参数：

③对于连杆 $i$ 与连杆 $i-1$ ，两者的连杆长度的偏置，也就是沿着两者公共关节 $i$ 轴向来看， $a _{i}$ 与 $a _{i-1}$ 之间的距离 $d_{i}$ 。

④除了长度以外，再有一个角度才能确定两者的关系。引入了两个连杆之间的关节角 $\theta _{i}$ ，也就是沿着 $i$ 轴向看， $a _{i}$ 与 $a _{i-1}$ 之间的夹角。

2. 连杆坐标系

所以这样如果对于移动关节，那么只有偏置 $d_{i}$ 是一个变量；而对于转动关节其关节角 $\theta _{i}$ ，是唯一的变量。下面为了更加清楚描述连杆的参数与关系，在关节上建立坐标系：

· 转动或移动转轴的方向为 $z_{i}$ ；

· 沿着连杆长度 $a _{i}$ 方向建立关节的 $x_{i}$ ；垂直于xz平面建立 $y_{i}$ 。

（右手法则：右手拇指指向Z，食指指向X，中指就是Y）

注：

①对于首杆0，约定选择 $z_{0}$ 轴沿着关节轴1的方向，也就是使得关节0与1的坐标系重合。

②类似地，对于最后一个连杆，约定其关节 $x_{n}$ 沿着上一关节 $x_{n-1}$ 的方向。宗旨就是使尽量多参数为零，简化运动学方程。

3. 首尾杆的描述

①首杆

在机器人中特殊的有首杆与尾杆，像下图中所示0杆就是首杆，并且是固定的。这里让连杆0与连杆1的坐标系重合，那么对于它的描述就是：

$a_{0}=0$ ， $\alpha_{0}=0$

对于转动关节： $\theta _{1}$ 就是关节变量，同时习惯约定 $d_{1}=0$ ，这里取 $\theta _{1}=0$ 为连杆1的零位；

对于移动关节： $d_{1}$ 就是唯一变量，同时习惯约定 $\theta _{1}=0$ ，这里取 $d_{1}=0$ 为连杆1的零位。

②末杆

最后一根连杆n和前一个连杆n-1选择 $x_{n}$ 与 $x_{n-1}$ 同向，所以这里：

$a_{n}=0$ ， $\alpha_{n}=0$

对于转动关节： $\theta _{n}$ 就是关节变量，同时约定 $d_{n}=0$ ，这里取 $\theta _{n}=0$ 为连杆n的零位；

对于移动关节： $d_{n}$ 就是唯一变量，同时约定 $\theta _{n}=0$ ，这里取 $d_{n}=0$ 为连杆n的零位。

4. 连杆变换与正向运动学方程

1）连杆变换

前面已经建立了两个杆件分别的坐标系，但是相邻的杆件坐标系有什么关系呢？这就是我们连杆变换要讨论的内容。如果我们已知在 $\left \{ i \right \}$ 系中的一点P，那我们可以通过 $_{}^{i-1}\textrm{}P=_{i}^{i-1}\textrm{}T_{}^{i}\textrm{}P$ 这个式子反推到P点在 $\left \{ i-1 \right \}$ 系中的表达，那我们如何通过上面讲的四个参数得到这个齐次变换矩阵呢？