连续时间下的一般资产定价模型

上一篇《资产定价核心等式及其应用》讲了资产定价的核心等式，以及随机贴现因子SDF的一些知识，但是是在离散时间下做的推导，而有时为了研究的方便，需要在连续时间下进行建模，本文对此进行介绍，并推导主要结论。

1 价格过程

在连续时间下，我们假设一项资产的收益率为：
$$\frac{d{p}_t}{p_t}+\frac{D_t}{p_t}dt$$
其中$D_t$为在$t$时间点的支付股息的比率，$D_{t}dt$即为在$dt$时间内支付的股息。

我们用扩散过程（diffusion process）对它的价格进行建模：
$$\frac{d{p}_t}{p_t}=\mu (\cdot )dt+\sigma (\cdot )dz$$
其中$dz$为标准布朗运动的增量，即$z_{t+\Delta }-z_t\sim N(0,\Delta )$。Diffusion process是没有跳（jump）的，且增量$dz$为正态分布，之所以作出该假设，是为了后面分析的方便。当然，由于$\mu (\cdot )$与$\sigma (\cdot )$是隐含变量的函数，$f(p_{t+\Delta }|I_t)$未必是正态分布。

在这样的假设下，我们先以无风险收益率为例，看这样的模型是怎样工作的。一方面，无风险资产可以看作是价格不变并始终以某个比率发放股息的资产，即$p=1$且$D_t=r_t^f$，另一方面，它也可以看作是不发放股息但价格按固定速度爬山的资产，即$D_t=0$且$\frac{d{p}_t}{p_t}=r_t^{f}dt$，这两种角度，对于最终的收益率是等价的。

2 资产定价恒等式

接下来，与在离散时间中的思路一样，我们来看达到均衡时的解（注意这里不是市场的一般均衡，而是某个投资者通过自身选择达到的局部均衡）。假设投资者的效用函数为
U ( { c t } ) = E [ ∫ t = 0 ∞ e − δ t u ( c t ) d t ] U(\{c_t\})=\text{E}\left[\int_{t=0}^{\infty}e^{-\delta t}u(c_t) dt\right] U({ ct​})=E[∫t=0∞​e−δtu(ct​)dt]

假设投资者可以以价格$p_t$购买某资产，一单位该资产的股息流（dividend stream）是$D_t$，即在$dt$时间内的股息为$D_{t}dt$。如果投资者选择买入$\xi$单位的该资产，那么在$dt$内，他的单位时间消费就会是$c_t=e_t-\xi p_t/dt$，他买入资产导致的效用损失应为$u^{\prime }(c_t)(e_t-c_t)dt=u^{\prime }(c_t)\xi p_t$，而未来股息收入带来效用收益为${\text{E}}_t\left[{\int }_{s=0}^{\infty }{e}^{-\delta s}{u}^{\prime }(c_{t+s})\xi D_{t+s}ds\right]$，在达到均衡时，必有
$$p_t{u}^{\prime }(c_t)={\text{E}}_t$$