平稳时间序列的大样本OLS回归

有了《独立同分布的大样本OLS回归》的铺垫，现在进一步将OLS推广到平稳时间序列的情况。

思路还是一样：

• 进行点估计，再研究估计量的性质；
• 构造统计量，在大样本下推导其渐近分布，并进行假设检验。

这里的各种计算与上一篇非常像，需要注意的是大数定律和中心极限定理在这里的使用条件（遍历平稳、鞅差分过程等）与上一篇不同，因此也需要不同的假设。

1 记号与假设

记$Q=\text{E}(x_t{x}_t^{\prime })$，$V=\text{Var}(x_t{\epsilon }_t)$。

• 假设1 遍历平稳性（Ergodic stationary）： { x t ′ , y t } ′ \{x_t',y_t\}' { xt′​,yt​}′，$t=1,\dots ,N$是可观测的遍历平稳过程；
• 假设2 线性性：$y_t=x_t^{\prime }\beta +{\epsilon }_t$，可写作矩阵形式$y=X\beta +\epsilon$；
• 假设3 模型正确设定：$\text{E}({\epsilon }_t|x_t)=0$且$\text{E}({\epsilon }_t^2)={\sigma }^2<\infty$；
• 假设4 非奇异性：$K\times K$矩阵$Q$是对称、有限、非奇异的；
• 假设5 鞅差分：相对于 { x s ε s , s < t } \{x_s \varepsilon_s, s\lt t\} { xs​εs​,s<t}
  生成的$\sigma$-域， { x t ε t } \{x_t \varepsilon_t\} { xt​εt​}为一鞅差分序列，且$K\times K$矩阵$V$是对称、有限、正定的；
• 假设6 条件同方差：$\text{E}({\epsilon }_t^2|x_t)={\sigma }^2$。

假设1包含了上一篇中的独立同分布过程。由于不再是在独立同分布假设下，因此严格外生性$\text{E}({\epsilon }_t|X)=0$不一定可以满足。假设3允许$x_t$包含前定变量（predetermined variables）如滞后的因变量$y_{t_1}$等，另外，由于有假设3的保证，$V=\text{Var}(x_t{\epsilon }_t)=\text{E}(x_t{x}_t^{\prime }{\epsilon }_t^2)$。

2 一些定理

定理1 遍历平稳随机样本的弱大数定律：假设 { Z t } t = 1 n \{Z_t\}_{t=1}^n { Zt​}t=1n​为遍历平稳过程，$\text{E}(Z_t)=\mu$且$\text{E}(|Z_t|)$