金融随机分析——二叉树资产定价模型 第一卷

金融随机分析——二叉树资产定价模型 第一卷

[美] 施里夫

背景

1. 1990年，哈里·马科维茨(Harry Markowiz)、威廉· 夏普(William Sharpe) 和默顿· 米勒 (Merton Miller,) 诺贝尔经济学奖，通过研究金融市场如何配置资本和减小风险使金融市场更有效率。
2. 1952年，马科维茨《投资组合选择》奠定金融学数理基础的发展，证明在投资组合均值回报相等的情况下，应该持有方差最小的投资组合。
3. 1969年，罗伯特·默顿(Robert Merton) 把随机分析引入到金融研究领域，研究金融市场如何定价的问题。
4. 1973年，费雪·布莱克(Fischer, Black) 与迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes) 在默顿的协助下发表文章得到期权定价公式（Black-Scholes期权定价公式，B-S模型)，为风险对冲证券的公平价格(fair price)提供理论方法。
5. 1979~1983年，哈里森 (Harrison)、克雷普斯(Kreps) 和普利斯卡 (Pliska)运用连续时间随机过程的一般理论为B-S模型提供理论基础，并给出其他衍生证券的定价方法。

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提要

第一卷：二叉树资产定价模型

第一章：二叉树无套利定价模型 风险中性定价概念

第二章：抛掷硬币空间上的概率论

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第一章 二叉树无套利定价模型

期权定价的核心问题是：在得知时刻1的结果之前，期权在0时刻的价值是多少？

1.1 单时段

假定——

起点：时刻0

终点：时刻1（结果只有在终点才知道，在0时刻结果是随机的)

股票每份价格 == 初始价格 S₀ ；1时刻价格：S₁(H) 、S₁(T)
[H代表上涨，T代表下跌；概率分别为 p和 q=1-p ]

因子：上升因子u=S₁(H) / S₀ ; 下降因子d = S₁(T) / S₀

利率: r (借款和投资利率相同)

无套利行为：$$0<d<1+r<u(令d=1/u)$$

欧式看涨期权定价

call option：Call options are financial contracts that give the option buyer the right but not the obligation to buy a stock, bond, commodity, or other asset or instrument at a specified price within a specific time period. The stock, bond, or commodity is called the underlying asset. A call buyer profits when the underlying asset increases in price.

看涨期权：看涨期权是金融合同，它给期权购买者在一个特定时期以特定价格购买一个股票，债券，商品或其他资产或者工具的权利，而非义务（也就是说，在执行期，购买者有权决定是否执行看涨期权）。其中，股票，债券或商品被称作标的资产（underlying asset）。当标的资产的价格上涨时，看涨期权的购买者获得利润。

put option:A put option (or “put”) is a contract giving the option buyer the right, but not the obligation, to sell—or sell short—a specified amount of an underlying security at a predetermined price within a specified time frame. This predetermined price at which the buyer of the put option can sell the underlying security is called the strike price.

看跌期权：看跌期权是合同，它期权购买者在一个特定时期以之前确定的价格卖出或卖空一定数量的标的证券。这个之前确定的价格是看跌期权的买家可以卖出标的资产时的价格，被称作执行价格（strike price）。

欧式和美式的区别在于行权日不同：欧式只能在规定日期交割，美式可以在一个时间期限内交割。

套利定价方法

1. 复制（replicate）:构造股票和货币的投资组合复制期权的收益，通过选择合适的头寸，使得在终点时投资组合的价格等于衍生品的价格 。
2. 对冲（hedge）：通过购买衍生品对冲股票市场的风险，构造衍生品和股票的投资组合，使得在终点时投资组合的收益率等于无风险收益率。

两时期/复制：初始财富X₀ ，购买$\Delta$₀股票，剩下的钱存在银行，不够的钱向银行贷款

1时刻投资组合价格 = $\Delta$ ₀S₁ + (1+r)(X₀ - $\Delta$₀S₀) ；1时刻衍生品价格 V₁；

根据套利定价方法，这两种价格应该相等，即V₁ = $\Delta$ ₀S₁ + (1+r)(X₀ - $\Delta$₀S₀) ，初始购买投资组合的X₀ = V₀。此时有H和T两种情况。

得到，初始购买股票的份额 $\Delta$₀ = $$S1(H)-$$