经验分布函数简介

1 概念

如果我们想知道某个随机变量$X$的分布$F$，这在一般情况下当然是无法准确知道的，但如果我们手上有它的一些独立同分布的样本，可不可以利用这些样本？一个很简单的办法就是，把这些样本的“频率”近似为随机变量的“概率”。

经验分布函数（empirical distribution function）：给每个点$1/n$的概率质量，得到CDF：
$${\hat{F}}_n(x)=\frac{{\sum }_{i=1}^{n}I(X_i\le x)}{n}$$

2 性质

经验分布函数，有什么性质？它可以很好地近似真实的分布函数吗？我们给出如下几个定理。

定理：对于任意给定的$x$，有

• $E({\hat{F}}_n(x))=F(x)$；
• $V({\hat{F}}_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}\to$