方差分解公式

最新推荐文章于 2025-02-10 19:30:11 发布
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#数学 #概率论

本文介绍了在处理复杂随机变量方差时，如何利用方差分解公式简化计算。该公式表示为：Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)]。通过证明，展示了该公式如何将方差拆分为条件期望的方差和条件方差的期望，从而在概率论和数学统计中提供了一种实用的计算方法。

在有些时候，直接计算随机变量的方差非常麻烦，此时可以用方差分解公式，将方差分解为条件期望的方差加条件方差的期望：
Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)] \text{Var}(X)=\text{Var}[\text{E}(X|Y)]+\text{E}[\text{Var}(X|Y)] Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)]

证明非常简单，注意到
Var[E(X∣Y)]=E{[E(X∣Y)]2}−{E[E(X∣Y)]}2=E{[E(X∣Y)]2}−[E(X)]2 \begin{aligned} \text{Var}[\text{E}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left\{\text{E}\left[\text{E}(X|Y)\right]\right\}^2\\ =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left[\text{E}(X)\right]^2 \end{aligned} Var[E(X∣Y)]==​E{[E(X∣Y)]2}−{E[E(X∣Y)]}2E{[E(X∣Y)]2}−[E(X)]2​
和
E[Var(X∣Y)]=E{E(X2∣Y)−[E(X∣Y)]2}=E(X2)−E{[E(X∣Y)]2} \begin{aligned} \text{E}[\text{Var}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\text{E}(X^2|Y) - [\text{E}(X|Y)]^2\right\}\\ =& \text{E}(X^2) - \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} \end{aligned} E[Var(X∣Y)]==​E{E(X2∣Y)−[E(X∣Y)]2}E(X2)−E{[E(X∣Y)]2}​
将上面两式相加，即得证。

【方差分解】方差分解原理及实现步骤
WW、forever的博客
02-17 1259
方差分解原理及实现步骤
拟合问题中偏差与方差分解公式证明
KsClang的博客
09-24 341
偏差是指模型对真实数据分布的错误假设或简化造成的误差，而方差则是指模型在训练集上的波动性，即对训练集的过度拟合所导致的误差。通过分析偏差和方差的相对大小，我们可以选择合适的模型来平衡拟合能力和稳定性，从而提高模型的性能。假设真实的关系可以表示为 Y = f(X) + ε，其中 f(X) 是真实函数关系，ε 是服从均值为 0 的噪声。偏差度量了模型的拟合能力，方差度量了模型的稳定性，而噪声是由数据中的随机性引起的不可避免的误差。方差度量了模型预测值的波动性，即模型在不同训练集上的表现的不稳定性。
总方差公式(方差分解公式)证明
lzy_07的博客
10-18 1万+
验证总方差公式 var(X)=E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y])var(X) = E[var(X|Y)] + var(E[X|Y])var(X)=E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y]). 主要要知道基本的公式 var(X)=E[X2]−(E[X])2var(X) = E[X^2]-(E[X])^2var(X)=E[X2]−(E[X])2 以及 E[E[X∣Y]]=E[X]E[E[X|Y]] = E[X]E[E[X∣Y]]=E[X]. 然后可以完成证明. 证明: 先看等号右边第一项, 因为
机器学习系列5---偏差和方差分解
qq_35667901的博客
05-28 2352
机器学习的目的就是通过选择合适的算法确定输入和输出变量之间的映射关系，不同学习算法的对比指标一般是对应模型的泛化性能，但是在实际分析过程中模型泛化性能不是单一成分，不同数据集划分或者样本选择均会对泛化性能的不同部分产生影响，一般将学习算法对应模型的泛化误差分为两部分：偏差（预测集）+方差（训练集），具体推导过程如下： 假设对于测试样本，令对应变量标记为，真实输出为；训练集 D 的模型输出为，则对于测试样本，基于训练集模型的期望输出为： ...
直观理解Law of Total Variance(方差分解公式)
Jie Qiao的专栏
04-30 4787
Law of Iterated Expectations (LIE) 在讲方差分解之前，我们需要先理解双期望定理。对于一个X，我们可以根据不同的Y将其任意的划分为几部分： 于是经过这样的划分，X总体的均值其实是等价于每一个划分下均值的总体均值。 E⁡[X]=E⁡[E⁡[X∣Y]] \operatorname{E} [X]=\operatorname{E} [\operatorname{E} [X|Y]] E[X]=E[E[X∣Y]] 举个例子，假设一共划分为三部分，每部分的均值分别为70 60 80, 于
偏差-方差分解bias-variance decomposition
sunlanchang的博客
04-23 1599
方差、偏差的直观意义 维基百科定义： Var⁡(X)=E[(X−μ)2]其中μ=E(X) \operatorname{Var}(X)=\mathrm{E}\left[(X-\mu)^{2}\right] 其中\mu=\mathrm{E}(X) Var(X)=E[(X−μ)2]其中μ=E(X) 在给定数据集中 方差： var⁡(x)=ED[(f(x;D)−f‾(x))2] \operatorname...
方差分析的核心概念“方差分解“
book_dw5189的博客
09-08 6871
如果F统计量的值远远大于1，而p-value小于显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，得出至少有一个组的均值存在显著差异的结论。方差分析中的F统计量和p-value提供了一个有效的方式来量化组均值之间的差异，这对于确定因素对于观察结果的影响是否显著具有重要意义。需要注意的是，总体方差的计算中除以的是总体数据点的数量 N，而样本方差的计算中除以的是 n−1（自由度，通常用来估计总体方差）。F统计量是方差分析中的核心统计量，用于比较组间方差与组内方差的比值，以进行假设检验，以确定是否拒绝原假设。
偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)
weixin_30832405的博客
06-15 297
本文地址为：http://www.cnblogs.com/kemaswill/，作者联系方式为kemaswill@163.com,转载请注明出处。 机器学习的目标是学得一个泛化能力比较好的模型。所谓泛化能力，是指根据训练数据训练出来的模型在新的数据上的性能。这就牵扯到机器学习中两个非常重要的概念：欠拟合和过拟合。如果一个模型在训练数据上表现非常好，但是在新数据集上性能很差，就是过拟合，反...
偏差-方差分解 Bias-Variance Decomposition(转载)
weixin_30415801的博客
01-21 272
转载自http://www.cnblogs.com/jmp0xf/archive/2013/05/14/Bias-Variance_Decomposition.html 完全退化了，不会分解，看到别人的分解方法了，留存。 以下为转载： -----我是转载的昏割线----- 设希望估计的真实函数为 f=f(X) 但是观察值会带上噪声，通常认为其均值为0 ...
偏置方差分解推导
02-05
偏置方差分解 Bias-variance decompose
偏差-方差分解
To_be_thinking的博客
03-21 873
对于测试样本x\bm{x}x，令yDy_{D}yD​为x\bm{x}x在数据集中的真实标记，f(x;D)f(\bm{x};D)f(x;D)为训练集DDD上 学得模型fff在x\bm{x}x上的预测输出。以回归问题为例，学习算法的期望预测为： f‾(x)=ED[f(x;D)]\overline{f}(x)=E_{D}[f(\bm{x};D)]f​(x)=ED​[f(x;D)] 使用样本数相同的不同的...
【R生态】方差分解分析及其显著性检验（Variation partition analysis）
R酷的数据科学笔记
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R语言VPA分析~
方差分解分析 (VPA)：定量不同环境因子对群落变化的解释比例
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刘永鑫的博客——宏基因组公众号
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什么是VPAVPA，全称Variance Partitioning Analysis，中文成为方差分解分析，该分析的目的是确定指定的环境因子对群落结构变化的解释比例。我们使用CCA/RD...
偏差方差分解
zhulf0804的博客
01-10 3961
偏差方差分解——Bias-Variance Decomposition: expected loss = bias2 + variance + noise   ：the prediction function trained on data set D ：the optimal function,for regression,   Expected loss of regression
机器学习 - 理解偏差-方差分解
分享技术人生的学习笔记和过往心得，与志同道合者共同进步
02-10 1755
为了避免过拟合，我们经常会在模型的拟合能力和复杂度之间进行权衡。拟合能力强的模型一般复杂度会比较高，容易导致过拟合。相反，如果限制模型的复杂度，降低其拟合能力，又可能会导致欠拟合。因此，如何在模型的拟合能力和复杂度之间取得一个较好的平衡，对一个机器学习算法来讲十分重要。偏差-方差分解(Bias-Variance Decomposition)为我们提供了一个很好的分析和指导 工具。
关于偏置-方差分解
zw_James的博客
02-16 4893
偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)是统计学派看待模型复杂度的观点。Bias-variance 分解是机器学习中一种重要的分析技术。给定学习目标和训练集规模，它可以把一种学习算法的期望误差分解为三个非负项的和，即本真噪音noise、bias和 variance。 noise 本真噪音是任何学习算法在该学习目标上的期望误差的下界；( 任何方法都克服不了的
协方差的拆分、加减计算公式，看这一页就够了
Wayne的优快云博客
10-07 4万+
概率论基础知识
偏差—方差分解概念
最新发布
06-20
### 偏差-方差分解的概念解释 在机器学习中，偏差-方差分解是一种用于分析模型预测误差来源的重要工具。通过将预测误差分解为偏差（Bias）、方差（Variance）和噪声（Noise）三部分，可以更深入地理解模型的泛化能力，并指导模型的选择与优化。 #### 1. 偏差（Bias） 偏差衡量的是模型预测值与真实值之间的差距。具体来说，偏差表示模型对目标函数的近似程度。如果模型过于简单，无法捕捉数据中的复杂模式，则会导致高偏差。这种情况通常表现为欠拟合（Underfitting）。公式定义如下： \[ \text{Bias} = E[\hat{f}(x)] - f(x) \] 其中，\( E[\hat{f}(x)] \) 是模型预测值的期望，\( f(x) \) 是真实值[^3]。 #### 2. 方差（Variance） 方差衡量的是模型预测值的变化程度。具体来说，方差表示模型对不同训练集的敏感性。如果模型过于复杂，能够很好地拟合训练数据但对新数据表现不佳，则会导致高方差。这种情况通常表现为过拟合（Overfitting）。公式定义如下： \[ \text{Var}(\hat{f}(x)) = E[(\hat{f}(x) - E[\hat{f}(x)])^2] \] 其中，\( \hat{f}(x) \) 是模型在某次训练后的预测值[^3]。 #### 3. 噪声（Noise） 噪声是数据中无法被模型学习到的部分，通常是由于数据本身的随机性或测量误差引起的。噪声是不可避免的，其大小由数据集本身决定。公式定义如下： \[ \sigma^2 = \text{Var}(\epsilon) \] 其中，\( \epsilon \) 是不可学习的噪声项[^3]。 #### 4. 总体均方误差（MSE） 总体均方误差可以分解为偏差、方差和噪声三部分： \[ E[(\hat{f}(x) - y)^2] = (\text{Bias})^2 + \text{Var}(\hat{f}(x)) + \sigma^2 \] 这表明，模型的预测误差不仅受到偏差和方差的影响，还受到数据噪声的限制。 #### 5. 模型选择与优化 根据偏差-方差分解的结果，可以选择适当的模型复杂度以平衡偏差和方差。例如： - **高偏差低方差**：模型过于简单，导致欠拟合。 - **低偏差高方差**：模型过于复杂，导致过拟合。 - **高偏差高方差**：模型性能最差，需要综合调整偏差和方差[^2]。 #### 6. 解决过拟合的方法 集成模型是一种有效降低方差的方法。通过将多个模型的预测结果进行平均，可以在一定程度上减少单个模型的波动性。这种方法的核心思想是利用多个模型的多样性来提高整体的稳定性[^2]。 ```python # 示例代码：集成模型降低方差 from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier # 创建随机森林分类器 model = RandomForestClassifier(n_estimators=100, random_state=42) # 训练模型 model.fit(X_train, y_train) # 预测 y_pred = model.predict(X_test) ```
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