方差分解公式

本文介绍了在处理复杂随机变量方差时,如何利用方差分解公式简化计算。该公式表示为:Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)]。通过证明,展示了该公式如何将方差拆分为条件期望的方差和条件方差的期望,从而在概率论和数学统计中提供了一种实用的计算方法。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

在有些时候,直接计算随机变量的方差非常麻烦,此时可以用方差分解公式,将方差分解为条件期望的方差加条件方差的期望:
Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)] \text{Var}(X)=\text{Var}[\text{E}(X|Y)]+\text{E}[\text{Var}(X|Y)] Var(X)=Var[E(XY)]+E[Var(XY)]

证明非常简单,注意到
Var[E(X∣Y)]=E{[E(X∣Y)]2}−{E[E(X∣Y)]}2=E{[E(X∣Y)]2}−[E(X)]2 \begin{aligned} \text{Var}[\text{E}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left\{\text{E}\left[\text{E}(X|Y)\right]\right\}^2\\ =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left[\text{E}(X)\right]^2 \end{aligned} Var[E(XY)]==E{[E(XY)]2}{E[E(XY)]}2E{[E(XY)]2}[E(X)]2

E[Var(X∣Y)]=E{E(X2∣Y)−[E(X∣Y)]2}=E(X2)−E{[E(X∣Y)]2} \begin{aligned} \text{E}[\text{Var}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\text{E}(X^2|Y) - [\text{E}(X|Y)]^2\right\}\\ =& \text{E}(X^2) - \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} \end{aligned} E[Var(XY)]==E{E(X2Y)[E(XY)]2}E(X2)E{[E(XY)]2}
将上面两式相加,即得证。

评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值