方差分解公式

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于 2021-04-21 17:10:20 发布

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分类专栏：千里路文章标签：数学概率论

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本文介绍了在处理复杂随机变量方差时，如何利用方差分解公式简化计算。该公式表示为：Var(X)=Var[E(X∣Y)]+E[Var(X∣Y)]。通过证明，展示了该公式如何将方差拆分为条件期望的方差和条件方差的期望，从而在概率论和数学统计中提供了一种实用的计算方法。

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在有些时候，直接计算随机变量的方差非常麻烦，此时可以用方差分解公式，将方差分解为条件期望的方差加条件方差的期望：
$\text{Var}(X)=\text{Var}[\text{E}(X|Y)]+\text{E}[\text{Var}(X|Y)]$

证明非常简单，注意到
$\begin{aligned} \text{Var}[\text{E}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left\{\text{E}\left[\text{E}(X|Y)\right]\right\}^2\\ =& \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} - \left[\text{E}(X)\right]^2 \end{aligned}$
和
$\begin{aligned} \text{E}[\text{Var}(X|Y)] =& \text{E}\left\{\text{E}(X^2|Y) - [\text{E}(X|Y)]^2\right\}\\ =& \text{E}(X^2) - \text{E}\left\{\left[\text{E}(X|Y)\right]^2\right\} \end{aligned}$
将上面两式相加，即得证。