因子模型简介

1 总体的kkk-因子模型

1.1 模型设定

x∼(μ,Σ)x\sim(\mu,\Sigma)x(μ,Σ)rank(Σ)=r\text{rank}(\Sigma)=rrank(Σ)=r,固定k<rk\lt rk<r,则kkk因子模型的设定为
x=Af+μ+ϵ x=Af+\mu+\epsilon x=Af+μ+ϵ
其中fffkkk维随机向量,称为共同因子(common factor),AAAd×kd\times kd×k的线性变换,称为因子载荷(factor loading)。

一般会做出这些假设:f∼(0,Ik)f\sim(0,I_k)f(0,Ik)ϵ∼(0,Ψ)\epsilon\sim(0,\Psi)ϵ(0,Ψ)(其中Ψ\PsiΨ为对角矩阵),Cov(f,ϵ)=0k×d\text{Cov}(f,\epsilon)=0_{k\times d}Cov(f,ϵ)=0k×d

有的文献中会假设Var(f)=Φ\text{Var}(f)=\PhiVar(f)=ΦΦ\PhiΦ为对角矩阵,在这里我们假设它是球形的。在我们的假设下,我们有
Σ=AA′+Ψ \Sigma=AA'+\Psi Σ=AA+Ψ

我们可以看Σ\SigmaΣAA′AA'AA的各元素的接近程度,定义AA′AA'AA的对角线元素τjj=∑l=1kajlajl\tau_{jj}=\sum_{l=1}^{k} a_{jl} a_{jl}τjj=l=1kajlajl为第jjj个communality(共同性),它满足σj2=σjj=τjj+ψj\sigma^2_j=\sigma_{jj}=\tau_{jj}+\psi_jσj2=σjj=τjj+

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