因子模型简介

1 总体的$k$-因子模型

1.1 模型设定

$x\sim (\mu ,\Sigma )$，$\text{rank}(\Sigma )=r$，固定$k<r$，则$k$因子模型的设定为
$$x=Af+\mu +ϵ$$
其中$f$为$k$维随机向量，称为共同因子（common factor），$A$为$d\times k$的线性变换，称为因子载荷（factor loading）。

一般会做出这些假设：$f\sim (0,I_k)$，$ϵ\sim (0,\Psi )$（其中$\Psi$为对角矩阵），$\text{Cov}(f,ϵ)=0_{k\times d}$。

有的文献中会假设$\text{Var}(f)=\Phi$，$\Phi$为对角矩阵，在这里我们假设它是球形的。在我们的假设下，我们有
$$\Sigma =A{A}^{\prime }+\Psi$$

我们可以看$\Sigma$和$A{A}^{\prime }$的各元素的接近程度，定义$A{A}^{\prime }$的对角线元素${\tau }_{jj}={\sum }_{l=1}^k{a}_{jl}{a}_{jl}$为第$j$个communality（共同性），它满足${\sigma }_j^2={\sigma }_{jj}={\tau }_{jj}+$