工具变量原理

在做回归时，很多时候会有$\text{E}(x_t{\epsilon }_t)\ne 0$的情况，这也意味着不满足外生性条件$\text{E}(\epsilon |X)=0$，此时的OLS估计量$\hat{\beta }$就不再满足无偏性，并且随着$n$的变大，它的bias也无法变小。若对此无法理解，请先掌握《小样本OLS回归梳理》中的内容。

此时该怎么办？一种解决方法是利用一些与$\epsilon$无关的变量，这就是工具变量（instrumental variables，下文统称IV）。我们假设找到的IV是一些$l\times 1$的向量$z_t$，再将它排成$n\times l$的矩阵$Z=[z_1,\cdots ,z_n{]}^{\prime }$。

IV需要与原来的$x_t$足够接近，因此$Z^{\prime }X$（$X$为$n\times k$矩阵）必须满列秩。而我们寻找IV的目的，就是要让IV满足$\text{E}(z_t{\epsilon }_t)=0$，由数据生成过程${\epsilon }_t=y_t-x_t^{\prime }{\beta }_o$可知，我们要求解的就是满足$\text{E}(z_t(y_t-x_t^{\prime }{\beta }_o))=0$的 β o \beta_o