26考研|数学分析：反常积分

“反常积分”这一章节承接不定积分、定积分而来，继续考虑两类特殊的反常积分——无穷积分与瑕积分。这一章综合了积分的求法，同时蕴含着函数极限的求法的相关思想，而这里面关于敛散性的判别方法——比较原则、迪利克雷判别法、阿贝尔判别法又可以运用于级数的敛散性判别之中，总的来说，本章节是非常综合性的一章，在学习过程中应该注意多进行总结相关题型。

（这一章的结束，数学分析（上）的学习就已经结束了，大家可以抽出时间将上册所涉及的极限计算、函数与连续性、一元函数微分学、一元函数积分学四大板块进行阶段性总结，可以短暂的休息后然后再进行下册的学习）

课本简单概括

11.1反常积分概念

本小节主要介绍了两种反常积分（无穷积分、瑕积分）的基本概念，无穷积分是在积分区间无穷大下的积分，瑕积分是在积分区间内存在瑕点（即无定义的点）的积分。针对两类积分主要学会简单的判断收敛的方法，掌握典型的关于f(x)=1/x^p在不同区间内的敛散性判断。

11.2无穷积分的性质与敛散性判别

本小节首先给出了无穷积分收敛的充要条件（柯西语言）；进而介绍了无穷积分的三条性质——线性、区间可加性以及相对应的积分不等式，同时介绍了条件收敛与绝对收敛的相关概念；最后介绍了关于无穷积分的敛散性判别方法——比较原则（只适用于非负函数，比较灵活好用）、迪利克雷判别法（分为f(x)与g(x)，其中一个函数有界，一个函数单调趋于零，即可证明收敛）、阿贝尔判别法（分为f(x)与g(x)，其中一个函数收敛，一个函数单调有界，即可证明收敛）。在学习过程中注意总结经典的收敛的无穷积分，尤其是对于比较原则的三个推论，应该着重学习。

11.3瑕积分的性质与敛散性判别

本小节主要介绍了瑕积分收敛的充要条件，性质以及敛散性判断方法，知识结构与11.2大致相同，此处便不再赘述。

课本经典例题