Always_away的博客

至此，本系列关于高等代数基础阶段的知识汇总已经全然介绍结束了，在此阶段，博主参考了谢启鸿老师版本的高等代数教材以及北京大学数学系前代数小组的高等代数教材进行了基础阶段的复习，历经数月，终于将课本基础知识完完整整的进行系统化总结。

欧几里得空间这一章节所串联知识点较多，综合性较强，其可以视为第六章线性空间的一个具体特例——保持内积不变的线性空间。此外，本章更多的涉及到实数范围内正交标准型的矩阵计算，还有施密特正交化等诸多综合性知识点需要着重考虑。因此在本章的学习中，应该首先掌握斯密特正交化等基本计算方法，其次更重要的就是厘清标准正交基之间的种种关系，在做题过程中才可以有的放矢。

本章知识点较为简单，是作为工具性的一章，在学习过程中，要注意区分行列式因子、不变因子以及初等因子，同时还要对若尔当标准型的计算应该足够熟悉，尤其是复矩阵的若尔当标准型计算是十分重要的。

线性变换这一章节是考频较高的一部分，此部分涉及考点较多，涉及的考题也较多，学习线性变换时，应该注意搭建线性变换与矩阵之间的联系，掌握如何利用矩阵表示一个线性变换结构，同时介绍了最简单的线性变换下的矩阵，即对角矩阵，但是并非所有矩阵均可以化为对角矩阵，可以进行进一步的退化，仅仅化为若尔当标准型即可。进而介绍了线性变换的值域与核，以及对不变子空间的介绍，最后讲解了最小多项式以及相关求法。

线性空间这一章在整个高等代数学习过程中是非常精华的部分，在学习这一章的过程中会有部分的概念较为抽象，一定要抓紧抓牢对于概念的理解，反复阅读与感受，同时也可以根据已知的解析几何中介绍的二维空间或者三维空间进行类推比较，从而加深理解与记忆。除此之外，还要加强对于线性子空间的理解，尤其是关于子空间上面进行的运算——交、和、直和，反复记忆，加强理解。

这一章向我们介绍了一种特殊的二次齐次多项式——二次型，由于其特殊的结构与性质，它可以运用矩阵来进行表示与计算。除此之外，本章还介绍了矩阵的另一重要关系——合同。本章的重点是掌握二次型的化简以及正定二次型的判断；难点在于关于矩阵合同关系的理解以及相关的运用。

矩阵这一章节的重要性不言而喻，后续章节的二次型、线性空间等均在矩阵的基础上进行，此外，矩阵的引入也进一步加强了关于计算的要求，很大程度上，用矩阵进行问题的处理与分析会进行简化。本章节主要聚焦在矩阵的计算上，难点是对矩阵分块方法的运用，对于题目的拆解以及对于矩阵的合理分块是破题关键。

线性方程组这一章节承接行列式而来，将以前高中阶段所学的一元一次方程、二元一次方程组进行推广，形成n元一次方程组。本章系统的介绍了方程组的求解方法，以及其解的结构性问题，同时引入非常重要的“线性”这一概念，这将在后续学习中不断出现。

范德蒙德行列式、上（下）三角行列式、爪形行列式等。分割法、递推法、初等变换法等。经常进行总结与整理。

本系列将围绕高等代数考研进行更新，进行基础阶段（25年1月—25年6月）的知识短暂性汇总与整理，主要将每一章节的知识进行简单汇总，用更加通俗的语言与形式进行知识的串联，同时也会整理一些重点的题目以供参考，题目的来源主要聚焦在北京大学编著的第五版《高等代数》以及谢启鸿老师的第四版《高等代数学》。