Always_away的博客

至此，本系列关于数学分析基础阶段的知识汇总已经全然介绍结束了，在此阶段，博主参考了陈纪修老师版本的数学分析教材以及华东师范大学出版社的数学分析教材进行了基础阶段的复习，历经数月，终于将课本基础知识完完整整的进行系统化总结。

本专题聚焦曲线积分、曲面积分，以及所涉及的三大公式——格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。在学习本部分内容时，一方面，要加强记忆——记忆不同曲线积分、曲面积分的计算公式，另一方面，借助三大公式，深入理解重积分与曲线积分、曲面积分之间的联系，更快速更便利地进行积分的求解。

从本专题开始，整个数学分析的学习便进入到了偏以计算为主的主流知识体系内。本章在原来学习求曲边梯形（定积分/一重积分）过渡到求曲顶柱体（二重积分）以及更多维度的计算之中。在学习计算的过程中，更应该注意对于积分区域的理解，注意灵活运用积分变换方法，使得积分的计算更为便利。

本章围绕着含参量正常积分、含参量反常积分以及欧拉积分进行讨论与展开，在学习过程中，应该着重关注含参量正常积分的计算部分，即如何进行计算与求解，而对于含参量反常积分，则应该更加关注其一致收敛性的证明与性质的推广。本章难度较大，在学习过程中应格外关注。

本章主要围绕隐函数、隐含数组的计算展开，本章的核心还是在于计算的运用，在理论层面要掌握隐函数（隐函数组）存在性定理，在计算方面，要掌握隐函数、隐函数组的计算方法，此外，本章还应学习隐函数组计算的应用——几何应用与条件极值的计算。

本章我们将进行多元函数微分学的学习，多元函数微分学与一元函数微分学相对应，涉及到可微性、中值定理、泰勒公式等诸多问题的探讨与研究，本章难度较大，在学习过程中需要进行深度思考与分析，才能真正掌握这一章的相关知识点。

函数列与函数项级数这一章虽然课本安排章节较少，只要两小节，但是在具体学习过程中，确实会有一定的难度，首先难点便是在对于函数列与函数项级数的理解，其次关于一致收敛性质的理解与判断，也是难点所在，最后还要理解关于一致收敛函数列以及一致收敛函数项级数的性质——连续性、可积性与可微性。

数项级数这一章的开始，开启了新的关于“级数”这一新的概念体系的学习进程，此部分共包含四章的内容，分别为数项级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数。这一章中，首先要掌握级数的相关概念与定义，重难点在于掌握判断级数收敛的方法，分为正项级数以及一般项级数，这一部分需要重点掌握。

“反常积分”这一章节承接不定积分、定积分而来，继续考虑两类特殊的反常积分——无穷积分与瑕积分。这一章综合了积分的求法，同时蕴含着函数极限的求法的相关思想，而这里面关于敛散性的判别方法——比较原则、迪利克雷判别法、阿贝尔判别法又可以运用于级数的敛散性判别之中，总的来说，本章节是非常综合性的一章，在学习过程中应该注意多进行总结相关题型。

这一部分作为数学分析的灵魂，在数学分析的计算中，绝大部分的问题都可以转换成定积分的计算问题，所以在这部分的学习中，一定要注意提升计算能力，除此之外，由积分引出的相关积分不等式也是分析的重点和难点，需要重点掌握。

于本章开始，一种新的计算被介绍。这一章主要围绕积分法——微分法的逆运算，这一板块进行展开。本章的重点其实很简单——计算，针对于不定积分的计算，各种类型、各种方法均会被介绍，在学习本章时候，一定要注意加强计算练习，熟练掌握每一种类型的计算方法与手段，学会处理不同类型的不定积分的计算。

根据本章标题其实不难发现，本章节可分为两大部分：微分中值定理的定理部分与应用部分。本章节内容较多，学习过程中建议增加投入时间。定理部分其实包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒定理（泰勒公式），应用部分，简而言之，就是通过导数来分析函数的相关性性质：单调性、凹凸性等，以及由其引出的极值点、拐点、单调区间、保凸区间等相关计算，同时还有利用微分中值定理进行极限的计算也是分析的重点。

本章节更加注重强调计算问题，主线其实就是进行导函数的计算，围绕其展开的一些证明题更多的研究的是导数的存在性问题，而解决这类问题，需要对定义进行深刻理解，也就是对于导数的定义式应该足够了解。

本文将着重介绍间断点的定义以及他的分类，进而通过具体题目分析间断点的判断。

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数。本章作为函数极限的延申，使得函数体系更加完善，同时也对可导性进行了一定铺垫。而在本章中，比连续性更加强的一致连续性更加值得深入研究，它的相关证明值得反复思考。

​函数极限这一章，可以视为数列极限的延申，同时也为接下来介绍的函数的连续性做了一定的理论支撑。在学习本章的过程中，实质上还是分析两个问题：①什么条件下函数存在极限；②如何求函数极限。与此同时，本章还应该着重理解无穷大量与无穷小量，以及他们之间阶的比较，这将为函数极限的计算提供许多方法。

在数列极限的计算中，尤其比式的计算，又具有较强的灵活性与多变性，但是Stolz定理对于解决单调数列的之间的比式计算，具有较强的可应用性与可推广性，因此，本文针对运用Stolz定理解决数列极限问题进行阐述。

​关于极限的求解是作为数学分析学习中基础和核心的部分，而数列极限又在其中具有着非常重要的地位，在学习本章过程中，应始终掌握一条主线：收敛数列具有极限。始终思考两个问题：①如何证明数列有极限（即如何证明数列收敛）②如何求解数列的极限。

本系列将围绕数学分析考研进行更新，进行基础阶段（25年1月—25年6月）的知识短暂性汇总与整理，主要将每一章节的知识进行简单汇总，用更加通俗的语言与形式进行知识的串联，同时也会整理一些重点的题目以供参考，题目的来源主要聚焦在华东师范大学编著的第五版《数学分析》以及陈纪修老师的第三版《数学分析》。