离散数学（3）——谓词逻辑

最新推荐文章于 2023-04-12 22:52:00 发布

Allure_07

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分类专栏：离散数学

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将可以独立存在的客体（具体事务或抽象概）称为个体或个体词，并用a,b,c,…表示个体常元，用x,y,z,…表示个体变元。（个体的函数还是个体）
将个体变元的取值范围称为个体域，个体域可以是有穷或无穷集合。人们称由宇宙间一切事物组成的个体域为全总个体域

将表示个体性质或彼此之间关系的词称为谓词，常用F,G,H,…表示谓词常元或谓词变元，用F(x)表示“x具有性质F”，用F(x,y)表示“x和y具有关系F”

一阶逻辑中命题符号化的两个基本公式
- 个体域中所有有性质F的个体都有性质G，应符号化为∀x(F(x)→G(x))
- 个体域中存在有性质F同时有性质G的个体，应符号化为∃x(F(x)∧G(x))

简称公式，它的形成规则类似于命题逻辑公式
在公式∀xA和∃xA中，称x为指导变元，称A为相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为是约束出现，A中不是约束出现的变元称为自由出现

对于给定的公式A，如果指定A的个体域为已知的D，并用特定的个体常元取代A中的个体变元，用特定函数取代A中的函数变元，用特定的谓词取代A中的谓词变元，就构成了A的一个解释
给定的一个公式A可以有多种解释
若A在任何解释下都为真，则称A为永真式
若A在任何解释下都为假，则称A为永假式
若A至少存在一个成真的解释，则称A为可满足式
若A↔B是永真式，则称A与B是等值的，记为A<=>B，并称A<=>B为等值式

在有限个体域D={a₁,a₂,…,a_n}中消去量词等值式
- ∀xA(x)<=>A(a₁)∧A(a₂)∧…∧A(a_n)
- ∃xA(x)<=>A(a₁)∨A(a₂)∨…∨A(a_n)
量词否定等值式
- ┐∀xA(x)<=>∃x┐A(x)
- ┐∃xA(x)<=>∀x┐A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式（B中不含x)
- ∀x(A(x)∨B)<=>∀xA(x)∨B
- ∀x(A(x)∧B)<=>∀xA(x)∧B
- ∀x(A(x)→B)<=>∃xA(x)→B
- ∀x(B→A(x))<=>B→∀xA(x)
- ∃x(A(x)∨B)<=>∃xA(x)∨B
- ∃x(A(x)∧B)<=>∃xA(x)∧B
- ∃x(A(x)→B)<=>∀xA(x)→B
- ∃x(B→A(x))<=>B→∃xA(x)
两次分配等值式
- ∀x(A(x)∧B(x))<=>∀xA(x)∧∀xB(x) 全称量词对“∧”有分配律，但对“∨”不适合分配律
- ∃x(A(x)∨B(x))<=>∃xA(x)∨∃xB(x) 存在量词对“∨”有分配律，但对“∧”不适合分配律