离散数学学习笔记----一阶逻辑等值演算与推理

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#离散数学 #一阶逻辑 #数理逻辑 #逻辑演算

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本文详细介绍了在一阶逻辑中，量词的否定、分配、辖域收缩与扩张等基本等值式，以及换名规则。此外，还探讨了推理定律，包括量词的消去与引入规则，以及如何使用这些规则进行有效的逻辑推理。这些内容对于理解一阶逻辑的证明和推理过程至关重要。

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一阶逻辑等值演算与推理

一阶逻辑中的基本等值式：

第一组：16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式。

第二组：

量词否等等值式

$¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)\neg \forall xA(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x)$

$¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)\neg \exists xA(x) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x)$

量词辖域收缩域扩张等值式：
$\begin{array}{l} \forall x(A(x) \vee B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \vee B \\ \forall x(A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \wedge B \\ \begin{aligned} \forall x(A(x) \rightarrow B) & \Leftrightarrow \exists x A(x) \rightarrow B \\ \forall x(B \rightarrow A(x)) & \Leftrightarrow B \rightarrow \forall x A(x) \end{aligned} \\ \exists x(A(x) \vee B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \vee B \\ \exists x(A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \wedge B \\ \begin{array}{l} \exists x(A(x) \rightarrow B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \rightarrow B \\ \exists x(B \rightarrow A(x)) \Leftrightarrow B \rightarrow \exists x A(x) \end{array} \end{array}$
量词分配等值式：
$\forall x(A(x) \wedge B(x)) \Leftrightarrow \forall x A(x) \wedge \forall x B(x) \\ \exists x(A(x) \vee B(x)) \Leftrightarrow \exists x A(x) \vee \exists x B(x)$

换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中的一个约束变项的所有出现及响应的指导变元全部改成该量词辖域中未曾出现过的某个个体变项符号，公式中其余部分不变，将所得公式记作A‘，A’<=>A。

一阶逻辑的推理定律

1.命题逻辑推理定律的代换实例

2.基本等值式生成的推理定律

3.一些常用的重要推理定律：
$\begin{array}{l} \forall x A(x) \vee \forall x B(x) \Rightarrow \forall x(A(x) \vee B(x)) \\ \exists x(A(x) \wedge B(x)) \Rightarrow \exists x A(x) \wedge \exists x B(x) \\ \forall x(A(x) \rightarrow B(x)) \Rightarrow \forall x A(x) \rightarrow \forall x B(x) \\ \forall x(A(x) \rightarrow B(x)) \Rightarrow \exists x A(x) \rightarrow \exists x B(x) \end{array}$

量词消去与引入规则
$\frac{\forall x A(x)}{\therefore A(y)} \text { 或 } \frac{\forall x A(x)}{\therefore A(c)}\\ \frac{A(y)}{\therefore \forall x A(x)}\\ \begin{array}{lll} \exists x A(x) & & \\ \frac{A(y) \rightarrow B}{\therefore B} & \text { 或 } & \frac{A(y) \rightarrow B}{\therefore \exists x A(x) \rightarrow B} \\ \exists x A(x) & & \\ \frac{A(c) \rightarrow B}{\therefore B} & \text { 或 } & \frac{A(c) \rightarrow B}{\therefore \exists x A(x) \rightarrow B} \end{array}$