离散数学学习笔记----一阶逻辑等值演算与推理

最新推荐文章于 2025-07-01 16:21:15 发布

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#离散数学 #一阶逻辑 #数理逻辑 #逻辑演算

本文详细介绍了在一阶逻辑中，量词的否定、分配、辖域收缩与扩张等基本等值式，以及换名规则。此外，还探讨了推理定律，包括量词的消去与引入规则，以及如何使用这些规则进行有效的逻辑推理。这些内容对于理解一阶逻辑的证明和推理过程至关重要。

一阶逻辑等值演算与推理

一阶逻辑中的基本等值式：

第一组：16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式。

第二组：

量词否等等值式

$¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)\neg \forall xA(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x)$

$¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)\neg \exists xA(x) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x)$

量词辖域收缩域扩张等值式：
$\begin{array}{l} \forall x(A(x) \vee B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \vee B \\ \forall x(A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \wedge B \\ \begin{aligned} \forall x(A(x) \rightarrow B) & \Leftrightarrow \exists x A(x) \rightarrow B \\ \forall x(B \rightarrow A(x)) & \Leftrightarrow B \rightarrow \forall x A(x) \end{aligned} \\ \exists x(A(x) \vee B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \vee B \\ \exists x(A(x) \wedge B) \Leftrightarrow \exists x A(x) \wedge B \\ \begin{array}{l} \exists x(A(x) \rightarrow B) \Leftrightarrow \forall x A(x) \rightarrow B \\ \exists x(B \rightarrow A(x)) \Leftrightarrow B \rightarrow \exists x A(x) \end{array} \end{array}$