数据结构C（8）——图的定义和基本术语、图的类型定义、图的存储结构

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一、图的定义和基本术语

图：G=(V,E) V：顶点（数据元素）的有穷非空集合；E：边的有穷集合
无向图：每条边都是无方向的
有向图：每条边都是有方向的
完全图：任意两个点都有一条边相连
稀疏图：有很少边或弧的图
稠密图：有较多边或弧的图
网：边/弧带权的图
邻接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系

存在（v_i，v_j），则称v_i和v_j互为邻接点

存在<v_i，v_j>，则称v_i邻接到v_j，v_j邻接于v_i
关联（依附）：边/弧与顶点之间的关系

存在（v_i，v_j）/<v_i，v_j>，则称该边/弧关联与v_i和v_j
顶点的度：与该点相关联的边的数目，记为TD（v）

在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和
路径：接续的边构成的顶点序列
路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和
回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径
简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径
简单回路（简单环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径
连通图（强连通图）：在无（有）向图G=(V,{E})中，若对任何两个顶点v、u都存在从v到u的路径，则称G是连通图（强连通图）
连通分量（强连通分量）：无向图的极大连通子图称为连通分量；有向图的极大强连通子图，称为强连通分量
极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条边后子图不在连通
生成树：包含无向图G所有顶点的极小连通子图
生成森林：对非连通图，有各个连通分量的生成树的集合

二、图的类型定义

GreateGraph(&G,V,VR)
- 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合
- 操作结果：按V和VR的定义构造图G
DFSTraverse(G)
- 初始条件：图G存在
- 操作结果：对图进行深度优先遍历
BFSTraverse(G）
- 初始条件：图G存在
- 操作结果：对图进行广度优先遍历

三、图的存储结构

1、邻接矩阵

数组（邻接矩阵）表示法
- 建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）
- 设图A=(V,E)有n个顶点，则顶点表Vexs[n]
- 图的邻接矩阵是一个二维数组A.arcs[n] [n]
邻接矩阵的存储表示：用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵

#define MaxInt 32767
#define MVNum 100
typedef char VerTexType;
typedef int ArcType;

typedef struct
{
    VerTexType vexs[MVNum];
    ArcType arcs[MVNum][MVNum];
    int vexnum,arcnum;
}AMGraph;

算法：采用邻接矩阵表示法创建无向网

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        for(j=0;j<G.vexnum;++j)
            G.arcs[i][j]=MaxInt;
    for(k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点及边的权值
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1和v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置为w
        G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//置<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值为w
    }
    return OK; 
}

算法：在图中查找顶点

int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        if(u==G.vexs[i])
            return i;
    return -1;
}

优点：
- 直观、简单、好理解
- 方便检查任意一对顶点间是否存在边
- 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
- 方便计算任一顶点的“度”
缺点：
- 不便于增加和删除顶点
- 浪费空间——存稀疏图有大量无效元素

2、邻接表表示法

顶点：按编号顺序将顶点数据存储在一维数组中
关联同一顶点的边（以顶点为尾的弧）：用线性链表存储
特点：
- 邻接表不唯一
- 若无向图中有n个顶点、e条边、则其邻接表需n个头结点和2e个表结点。适宜存储稀疏图
- 无向图中顶点v_i的度为第i个单链表中的结点数
顶点结构

typedef struct VNode
{
    VerTexType data;//顶点信息
    ArcNode *firstarc;//指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];//AdjList表示邻接表类型

边的结点结构

#define MVNum 100//最大顶点数
typedef struct ArcNode//边结点
{
    int adjvex;//该边所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc;//指向下一条边的指针
    OtherInfo info;//和边相关的信息
}ArcNode;

图的结构定义

typedef struct
{
    AdjList vertices;
    int vexnum,arcnum;
}ALGraph;

采用邻接表表示法创建无向网

Status CreateUDG(ALGraph &G)
{
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
    {
        cin>>G.vertices[i].data;
        G.vertices[i].firstarc=NULL;
    }
    for(k=0;k<G.arcnum;++k)
    {
        cin>>v1>>v2;
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);
        p1=new ArcNode;
        p1->adjvex=j;
        p1->nextarc=G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc=p1;
        p2=new ArcNode;
        p2->adjvex=i;
        p2->nextarc=G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc=p2;
    }
    return OK;
}