《几何原本》命题I.29

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#学习 #笔记

《几何原本》命题I.29

两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
在这里插入图片描述
设 AB∥CD,∠AGH≠∠GHDAB\parallel CD,\angle AGH\ne\angle GHDAB∥CD,∠AGH=∠GHD
则 ∠BGH+∠GHD≠180∘\angle BGH+\angle GHD\ne180^{\circ}∠BGH+∠GHD=180∘，矛盾
∴∠AGH=∠GHD\therefore\angle AGH=\angle GHD∴∠AGH=∠GHD
∴∠AGH=∠GHD=∠CHF\therefore \angle AGH=\angle GHD=\angle CHF∴∠AGH=∠GHD=∠CHF
∴∠AGH=180∘−∠BGH=180∘−∠GHC\therefore \angle AGH=180^{\circ}-\angle BGH=180^{\circ}-\angle GHC∴∠AGH=180∘−∠BGH=180∘−∠GHC

数学领域里几何学的学习方法分享
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05-29 1411
学习几何学的目的不仅仅是为了在数学考试中取得好成绩，更重要的是培养空间想象力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力。几何学在建筑、工程、物理、计算机图形学等众多领域都有广泛的应用。本文的范围涵盖了平面几何、立体几何等基础几何学知识，以及一些常见的几何算法和应用。通过分享学习方法，帮助读者更好地理解和掌握几何学知识。本文将首先介绍几何学的核心概念与联系，让读者对几何学有一个整体的认识。接着，详细讲解核心算法原理和具体操作步骤，并结合数学模型和公式进行深入分析。
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21、微分几何与非欧几何：从测地线到弯曲空间的探索
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本文深入探讨了微分几何与非欧几何的核心概念，重点介绍了测地线的定义、性质及其方程推导，并对比了度量测地线与仿射测地线的等价性。文章进一步阐述了黎曼几何对弯曲空间的内蕴研究方式，回顾了欧几里得几何的公理体系及其局限性，揭示了非欧几何（尤其是双曲几何）的历史意义与现实应用。通过多种双曲几何模型的介绍以及在计算机图形学、物理学等领域的应用分析，展示了现代几何学的广泛影响。最后结合练习题解析帮助读者巩固对球面距离、曲率、高斯曲率及测地线等关键问题的理解，旨在激发对几何学深层次探索的兴趣。
24、几何知识全解析：从欧几里得几何到圆反演
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本文深入解析了几何的发展与分类，重点研究了欧几里得几何的公理化体系，并延伸至圆反演的基本概念和构造方法。通过探讨双曲几何及其模型构建，揭示了圆反演在非欧几何中的重要作用，为理解不同几何体系提供了全面视角。
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本博文深入探讨了尺规作图背后的逻辑与几何公理体系，分析了欧几里得几何的构造性特点以及非构造性命题的处理方式。文章重点研究了几何构造中连续性定义、交点处理、刚性圆规的必要性，以及不同版本平行公理之间的逻辑关系与独立性。同时，博文还讨论了构造性几何如何定义线段的加法与乘法，并揭示了几何模型与欧几里得域之间的联系。此外，文章还拓展了构造性几何与计算机科学的关联，特别是在可计算性与算法设计方面的应用，并提出了未来研究方向。
构建个人学习与工作LLM应用系统的核心运行机制：一种人机协同系统“认知引擎”的架构原理
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摘要：本文提出构建"人机协同认知引擎"的方法论，旨在将临时性对话升级为可持续复利的认知生产力系统。核心架构包含六层功能：情境层（明确任务背景）、世界模型层（构建个人知识体系）、证据与记忆层（确保可追溯性）、推理与规划层（生成可执行计划）、行动与外部化层（输出实际成果）以及评估与学习层（持续优化）。
学习C#调用OpenXml操作word文档的基本用法（14：学习文档编号定义类）
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学习文档编号定义类NumberingDefinitionsPart的主要属性
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本文介绍如何使用PyInstaller将Python程序打包成可执行文件。首先通过pip安装PyInstaller，然后使用pyinstaller --onefile --windowed命令将Python脚本打包成独立.exe文件，无需安装Python环境即可运行。文章详细说明了打包步骤、常见问题解决方法（如闪退、文件过大等），并提供了添加自定义图标的技巧，帮助初学者轻松分享Python程序。
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题目描述 辗转相除法，也称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor）是能够同时整除它们的最大的正整数,缩写为gcd。辗转相除法基于如下原理： 定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数. 用数学语言表示就是： g c d ( a , b ) g c d （ b ， a gcd(a,b)=gcd（b，a% b ) b) 在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。 例如，计算 a 1071 a=1071和 b 462 b=462的最大公约数的过程如下： (1)让 1071 1071除以 462 462得到余数： 147 147,所以 g c d ( 1071 , 462 ) g c d ( 462 , 147 ) gcd(1071,462)=gcd(462,147) (2)让 462 462除以 147 147得到余数： 21 21,所以 g c d ( 462 , 147 ) g c d ( 147 , 21 ) gcd(462,147)=gcd(147,21) (3)让 147 147除以 21 21得到余数： 0 0,所以 g c d ( 147 , 21 ) g c d ( 21 ， 0 ) gcd(147,21)=gcd(21，0) (4)此时较小的数已经是 0 0，所以 g c d ( 21 ， 0 ) 21 gcd(21，0)=21. 所以 g c d ( 1071 , 462 ) 21 gcd(1071,462)=21 输入格式 一行2个自然数 n n和 m m,保证 1 ≤ m ， n ≤ 10 9 1≤m，n≤10 9 。 输出格式 只有一行一个整数，表示 n n和 m m的最大公因数
09-22
<think> 题目要求使用辗转相除法（欧几里得算法）计算两个自然数n和m的最大公约数（GCD）。根据辗转相除法的原理，我们可以递归或迭代地应用以下等式： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 直到其中一个数为0，此时另一个数就是最大公约数。 由于n和m的范围是1到10^9，我们需要一个高效的算法。辗转相除法的时间复杂度为O(log(min(a,b)))，因此可以处理大数。 我们可以使用迭代方法（非递归）来实现，避免递归带来的栈溢出风险（尽管递归深度为O(log n)一般不会太深，但迭代更安全且效率相同）。 迭代步骤： 1. 如果其中一个数为0，则另一个数就是最大公约数（但题目保证m,n≥1，所以不会一开始就为0，但在迭代过程中会出现0）。 2. 当b不为0时，重复以下过程： a. 计算a对b的余数：r = a % b b. 将a更新为b，b更新为r 3. 当b等于0时，a就是最大公约数。 注意：我们不需要考虑a和b的大小关系，因为如果a<b，那么a % b等于a，下一步就会自动交换（因为a % b = a，然后更新：a=b, b=a（原来的a）），所以算法会自动调整。 例如：gcd(5, 15) -> 5%15=5 -> (15,5) -> 15%5=0 -> gcd=5。 代码实现： </think> ### 辗转相除法（欧几里得算法）实现最大公约数 #### 算法原理 辗转相除法基于以下数学原理： 两个整数的最大公约数（GCD）等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。 用公式表示为： \[ \text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \mod b) \] 该过程重复执行，直到余数为 0，此时除数即为最大公约数。 #### C++ 实现代码 ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 使用迭代实现辗转相除法 long long gcd(long long a, long long b) { while (b != 0) { long long temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; } int main() { long long n, m; cin >> n >> m; // 输入两个自然数 cout << gcd(n, m); // 输出最大公约数 return 0; } ``` #### 代码说明 1. **迭代实现**： - 使用 `while` 循环替代递归，避免栈溢出风险（尤其适合 \(10^9\) 级别的大数） - 时间复杂度：\(O(\log(\min(n, m)))\)，高效处理大数 - 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数级额外空间 2. **核心逻辑**： ```cpp while (b != 0) { long long temp = b; // 保存当前除数 b = a % b; // 计算余数并更新为下一轮除数 a = temp; // 更新被除数为上一轮的除数 } ``` - 当 `b` 变为 0 时，循环结束，此时 `a` 即为最大公约数 3. **输入输出**： - 使用 `long long` 类型确保支持 \(10^9\) 范围的整数 - 直接输出计算结果，无额外格式化 #### 算法流程示例（以 gcd(1071, 462) 为例） | 步骤 | a | b | a % b | 操作 | |------|------|------|-------|--------------------| | 1 | 1071 | 462 | 147 | b = 1071 % 462 = 147 | | 2 | 462 | 147 | 21 | b = 462 % 147 = 21 | | 3 | 147 | 21 | 0 | b = 147 % 21 = 0 | | 4 | 21 | 0 | - | 返回 a = 21 | #### 关键特性 1. **自动处理大小顺序**： 若输入 \(a < b\)（如 gcd(5, 15)），首次迭代后自动交换： \[ \text{gcd}(5, 15) \rightarrow \text{gcd}(15, 5 \mod 15=5) \rightarrow \text{gcd}(15,5) \] 2. **边界条件处理**： - 当输入为 0 时（题目保证 \(n, m \geq 1\)，无需特殊处理） - 两数相等时（如 gcd(7,7) 直接返回 7）
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