动态规划,记忆搜索,uva1629,切蛋糕

本文探讨了一种算法,用于解决将蛋糕切成多个部分,使每个部分恰好包含一个樱桃的问题,同时最小化切割路径的总长度。通过使用动态规划和递归函数,文章详细解释了如何有效地计算出最优解决方案。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

先给链接:https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4504

大意就是切n*m蛋糕,有k樱桃,只能横着竖着切,要求每一块蛋糕上恰好有一个樱桃,且割线总长最小。

Sample Input
3 4 3

1 2

2 3

3 2

Sample Output
Case 1: 5

/*自己写切的时候炸了,还是大佬厉害,膜拜膜拜*/

这题第一个难点就是区域的划分记录,用数组D[r][c][w][h]来记录(以(r,c)点为区域左上坐标,r为点所在宽度,c为点所在长度,不能与x,y坐标弄混,w为区域的宽度,h为此区域的长度)此区域最短切割的最小长度。题目给的n是行,是长度,m是列,是宽度,读入的时候注意。

再要用数组Chery[r][c][w][h]记录区域的樱桃总数,从而保证每个切分出的蛋糕恰好有一个樱桃。

第二个难点就是划分区域时长度,宽度和坐标的关系。

先看区域求樱桃和:

int CR_Cnt(int r,int c,int w,int h){//区域[r,c,w,h]之间的所有樱桃数 
	int& ans = Chery[r][c][w][h];
	if(ans != -1) return ans;
	
	if(w>1)
	return ans = CR_Cnt(r,c,1,h) + CR_Cnt(r,c+1,w-1,h);//行数大于1,r,c点对应行的樱桃数+ 下一行(宽度-1,长度不变) 
	return ans = CR_Cnt(r,c,1,1) + CR_Cnt(r+1,c,1,h-1);//这时行数只能为1,列数先为一再往后移; 
}

如果行数w>1,无法找到点坐标的樱桃,而是分出当前行,那么我切出了当前行(r,c,1,h),再加上另一部分,此时的剩下的部分的纵坐标由于被切了一行,所以要往下移一位,他的宽度对应减一。

当切到了最后宽度为1的时候,开始以1为单位切长度,分为当前坐标长度[r,c,1,1]和剩余区域长度[r+1,c,1,h-1]。

再来就是遍历横切和竖切,坐标,区域变化和以上类似;

分割线:


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 20 +1; 
int n,m,k,D[maxn][maxn][maxn][maxn],Chery[maxn][maxn][maxn][maxn];

int CR_Cnt(int r,int c,int w,int h){//区域[r,c,w,h]之间的所有樱桃数 
	int& ans = Chery[r][c][w][h];
	if(ans != -1) return ans;
	
	if(w>1)
	return ans = CR_Cnt(r,c,1,h) + CR_Cnt(r,c+1,w-1,h);//行数大于1,r,c点对应行的樱桃数+ 下一行(宽度-1,长度不变) 
	return ans = CR_Cnt(r,c,1,1) + CR_Cnt(r+1,c,1,h-1);//当行数为1,长度切割,再往后移; 
}

int dp(int r,int c,const int W,const int H){
	int& ans = D[r][c][W][H];
	if(ans != -1) return ans;
	if(CR_Cnt(r,c,W,H)==1 ) return ans = 0; //如果只有此区域内只有一个樱桃,不划分。 
	
	auto updateans = [&](int a){ //这里是c++11 带的匿名函数,引用追踪 a为 W+dp(r+h,c,W,H-h) + dp(r,c,W,h)),不习惯可以用我注释的那段。 
		if(ans == -1) ans = a;
		else ans =min(ans,a);
	};
	
	for(int h = 1;h < H; ++h)//横向切割 
	if(CR_Cnt(r,c,W,h) >= 1 && CR_Cnt(r,c,W,H-h) >= 1) //可以继续切割的条件是当前行樱桃数目大于1,且剩余部分樱桃数目大于1; 
	updateans(W+dp(r+h,c,W,H-h) + dp(r,c,W,h));
	/*if(ans == -1) ans =  W+dp(r+h,c,W,H-h) + dp(r,c,W,h); 
	else ans = min(ans,W+dp(r+h,c,W,H-h) + dp(r,c,W,h));*/
	
	for(int w = 1;w < W; ++w)//竖向切割
	if(CR_Cnt(r,c,W-w,H) >= 1 && CR_Cnt(r,c,w,H) >=1)
		updateans(H + dp(r,c+w,W-w,H) + dp(r,c,w,H));
	
	return ans;
}

int main(){
	for(int kase = 1,r,c;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k) == 3;kase++){//读入 
		memset(D,-1,sizeof(D));
		memset(Chery,-1,sizeof(Chery));
		for(int i = 0;i < n; ++i)
		for(int j = 0;j < m; ++j)
		Chery[i][j][1][1] = 0;
		for(int i = 0;i < k; ++i){
			scanf("%d%d",&r,&c);
			Chery[r-1][c-1][1][1] = 1;//有k个樱桃,记录它们具体位置,由于数组从0开始,题目-1。 
		}
		printf("Case %d: %d\n",kase,dp(0,0,m,n));//dp(0,0,m,n)起始0,0,这里的宽度是m,长度是n 
	}
	return 0;
}

最后:

programming is the most fun you can have with your clothes on.

### 关于UVa 307问题动态规划解法 对于UVa 307 (Sticks),虽然通常采用深度优先搜索(DFS)+剪枝的方法来解决这个问题,但也可以尝试构建一种基于动态规划的思想去处理它。然而,在原描述中并未提及具体的动态规划解决方案[^3]。 #### 动态规划解题思路 考虑到本题的核心在于通过若干根木棍拼接成更少数量的新木棍,并使得这些新木棍尽可能接近给定的目标长度。为了应用动态规划技术,可以定义一个二维数组`dp[i][j]`表示从前i种不同类型的木棍中选取一些组合起来能否恰好组成总长度为j的情况: - 如果存在这样的组合,则`dp[i][j]=true`; - 否则`dp[i][j]=false`. 初始化时设置`dp[0][0]=true`, 表明没有任何木棍的情况下能够构成零长度。接着遍历每种类型的木棍以及所有可能达到的累积长度,更新对应的布尔值。最终检查是否存在某个k使得`sum/k * k == sum && dp[n][sum/k]`成立即可判断是否能成功分割。 这种转换方式利用了动态规划中的两个重要特性:最优化原理和重叠子问题属性。具体来说,每当考虑一根新的木棍加入现有集合时,只需要关注之前已经计算过的较短长度的结果,从而避免重复运算并提高效率[^1]. #### Python代码实现 下面给出一段Python伪代码用于说明上述逻辑: ```python def can_partition_sticks(stick_lengths, target_length): n = len(stick_lengths) # Initialize DP table with False values. dp = [[False]*(target_length + 1) for _ in range(n + 1)] # Base case initialization. dp[0][0] = True for i in range(1, n + 1): current_stick = stick_lengths[i - 1] for j in range(target_length + 1): if j >= current_stick: dp[i][j] |= dp[i - 1][j - current_stick] dp[i][j] |= dp[i - 1][j] return any(dp[-1][l] and l != 0 for l in range(target_length + 1)) # Example usage of the function defined above. stick_lengths_example = [...] # Input your data here as a list. total_sum = sum(stick_lengths_example) if total_sum % min(stick_lengths_example) == 0: result = can_partition_sticks(stick_lengths_example, int(total_sum / min(stick_lengths_example))) else: result = False print('Can partition sticks:', 'Yes' if result else 'No') ``` 需要注意的是,这段代码只是一个简化版本,实际比赛中还需要进一步调整参数以适应特定输入范围的要求。此外,由于题目本身允许有多余的小段剩余未被使用,所以在设计状态转移方程时也应适当放宽条件.
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