动态规划之分蛋糕

描述:
有一块矩形蛋糕,宽和高分别是整数w、h。现要将其切成m块小蛋糕,每个小蛋糕都必须是矩形、且宽和高均为整数。切蛋糕时,每次切一块蛋糕,将其分成两个矩形蛋糕。请计算:最后得到的m块蛋糕中,最大的那块蛋糕的面积下限。

解题思路:
设ways(w,h,m)表示宽为w、高为h的蛋糕,被切m刀后,最大的那块蛋糕的面积最小值。题目就是要求ways(W,H,M-1)
边界条件:

 w*h<m+1  
 INF m==0   w*h  

递推式:
SV为第一刀竖着切时能得到的最好结果,SH为第一刀横着切时能得到的最好结果,则ways(w,h,m)=min(SV,SH)
SV=min{Si,i=1…w-1}
其中 Si=为第一刀左边宽为i的情况下的最好结果。
Si=min{max(ways(i,h,k),ways(w-i,h,m-1-k)),k=0…m-1}

### 天梯赛中的蛋糕问题 在算法竞赛中,“蛋糕”通常指的是一类资源配问题,在这类题目里,目标是公平合理地割某个有限资源给多个参与者。对于天梯赛而言,具体的“蛋糕”问题可能涉及复杂的逻辑推理和数学计算。 #### 题目描述 一般情况下,此类问题会给出若干个不同小或者价值的物品(即所谓的“蛋糕片”),以及参与配的人数。参赛者需要编写程序来实现最优解方案,使得每个人获得尽可能相等的价值份额[^1]。 #### 解决思路 解决该类型的问题可以采用多种方法: - **贪心算法**:按照一定顺序处理每一个蛋糕片,并将其配给当前总收益最小的那个个体。 - **动态规划**:通过构建状态转移方程求得全局最优解;这种方法适用于规模较小的情况,因为其时间复杂度较。 - **回溯法/支限界法**:当存在约束条件时可考虑使用这些搜索策略寻找可行解集内的最佳答案。 ```python def greedy_cake_division(cakes, people): # 初始化每个人的所得为0 shares = [0] * people # 对于每一块蛋糕按体积降序排列后依次配 sorted_cakes = sorted(cakes, reverse=True) for cake in sorted_cakes: min_index = shares.index(min(shares)) shares[min_index] += cake return shares ``` 上述代码展示了基于贪心思想的一个简单例子,它能够快速得到近似解但未必是最优解。 #### 实际应用注意事项 实际比赛中可能会遇到更复杂的要求,比如特定规则下的优先级设定、不均匀布的需求偏好等因素都需要纳入考量范围之内。因此建议多做练习并熟悉各种经典模型及其变种形式以应对可能出现的变化。
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