三分法求点到抛物线的最短距离

最新推荐文章于 2021-05-08 12:30:04 发布

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本文介绍了一种使用三分法来寻找凸性函数最值的方法，并应用到具体问题上，求解点到二次函数曲线的最短距离。通过不断缩小搜索范围，最终找到满足精度要求的最值点。

首先三分法简单说就是判断序列的最大最小值，该序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。

图片来源：https://blog.youkuaiyun.com/beiyouyu/article/details/7875480

然后再对二分进行二分，

我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。

题目：已知点p(x,y),求点p到y=ax^2+bx+c的最短距离。

输入：a,b,c,x,y.(高精度)。

输入：最短距离（保留3位小数）

样例输入：16 107 8 75 173

输出：73.706

其实这题还蛮有坑点的，

首先要明白距离d的公式：即 d = min{ sqrt( (X − x)^2 + (aX^2 + bX + c − y)^2) }，化简后也对于d的公式也满足凸性函数。

其实在高精度比较时，不能用<,>,==直接比较

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a, b, c, x, y;
double judge(double xx){
	return sqrt((xx-x)*(xx-x)+(a*xx*xx+b*xx+c-y)*(a*xx*xx+b*xx+c-y));
} 
int main(){
	while (~scanf("%lf%lf%lf%lf%lf", &a, &b, &c, &x, &y)){
		double l=-1000,r=1000;
		while(r-l>=0.00001){//double型比较
			double mid = (l+r)/2;
			double midd = (mid+r)/2;
			if(judge(mid)<=judge(midd)) //判断在左区间还是右区间
			r=midd;  //最小值在左边我们就舍弃右区间
			else
			l=mid;//反之
		}
		printf("%.5f\n",judge(l));
	}
	return 0;
}