泛函分析与偏微分方程（二）：弱拓扑的定义与基本性质

最新推荐文章于 2025-12-05 14:37:41 发布

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#算法

弱拓扑 $σ(E,E∗)\sigma(E, E^*)$ 的定义与基本性质

一、最粗拓扑的概念

在学习弱拓扑之前，我们先回顾一个基础的拓扑概念：为使一族映射连续而构造的最粗拓扑。

1.1 定义

假设 $X$ 是一个集合， $Yi}i∈I\{Y_i\}_{i \in I}$ 是一族拓扑空间，我们有一族映射 $φi}i∈I\{\varphi_i\}_{i \in I}$ ，其中每个 $φi:X→Yi\varphi_i: X \to Y_i$ 。我们的目标是：

问题1：在 $X$ 上构造一个拓扑 $T\mathscr{T}$ ，使得所有的映射 $φi\varphi_i$ 都是连续的。并且，这个拓扑应该是“最经济”的，即它包含的开集最少。

这种拓扑被称为 初始拓扑 (initial topology) 或 最粗拓扑 (coarsest topology)。

1.2 构造方法

为了使每个 $φi\varphi_i$ 连续，对于 $Y_i$ 中的任意开集 $ωi\omega_i$ ，其原像 $φi−1(ωi)\varphi_i^{-1}(\omega_i)$ 必须是 $X$ 中的开集。因此，我们从所有形如 $φi−1(ωi)\varphi_i^{-1}(\omega_i)$ 的集合出发，构造一个拓扑。

第一步：考虑所有有限交集 $⋂i∈Γφi−1(Vi)\bigcap_{i \in \Gamma} \varphi_i^{-1}(V_i)$ ，其中 $Γ⊂I\Gamma \subset I$ 是有限集， $V_i$ 是 $Y_i$ 中的开集。这些集合构成一个“子基”。
第二步：取这些有限交集的所有任意并集，得到最终的拓扑 $T\mathscr{T}$ 。

这个拓扑 $T\mathscr{T}$ 是满足条件的最粗拓扑。

1.3 性质

命题3.1：设 $x_n)$ 是 $X$ 中的一个序列，则 $xn→xx_n \to x$ （在拓扑 $T\mathscr{T}$ 中）当且仅当对每一个 $\in I$ ，都有 $φi(xn)→φi(x)\varphi_i(x_n) \to \varphi_i(x)$ 。
- 证明：如果 $xn→xx_n \to x$ ，由于每个 $φi\varphi_i$ 连续，根据连续函数的序列定义，必有 $φi(xn)→φi(x)\varphi_i(x_n) \to \varphi_i(x)$ 。反之，若 $φi(xn)→φi(x)\varphi_i(x_n) \to \varphi_i(x)$ 对所有 $i$ 成立，任取 $x$ 的一个邻域 $U$ ，它可以写成有限个 $φi−1(Vi)\varphi_i^{-1}(V_i)$ 的交集。由于每个 $φi(xn)\varphi_i(x_n)$ 最终会落在 $V_i$ 内，所以 $x_n$ 最终会落在 $U$ 内。
命题3.2：设 $Z$ 是一个拓扑空间， $ψ:Z→X\psi: Z \to X$ 是一个映射。则 $ψ\psi$ 连续当且仅当对每一个 $\in I$ ，复合映射 $φi∘ψ:Z→Yi\varphi_i \circ \psi: Z \to Y_i$ 都连续。
- 证明：这是初始拓扑的定义性性质。如果 $ψ\psi$ 连续，则 $φi∘ψ\varphi_i \circ \psi$ 作为连续映射的复合也连续。反之，若所有 $φi∘ψ\varphi_i \circ \psi$ 连续，则对于 $X$ 中的任意开集 $\bigcup_{\alpha} \bigcap_{i \in \Gamma_\alpha} \varphi_i^{-1}(\omega_i)$ ，其原像 $ψ−1(U)\psi^{-1}(U)$ 是一些开集的并集，故为开集。

例1：考虑一个集合 $X = \{a, b, c\}$ ，以及两个映射：
$φ1:X→R\varphi_1: X \to \mathbb{R}$ ，定义为 $φ1(a)=1,φ1(b)=2,φ1(c)=3\varphi_1(a) = 1, \varphi_1(b) = 2, \varphi_1(c) = 3$ 。
$φ2:X→R\varphi_2: X \to \mathbb{R}$ ，定义为 $φ2(a)=4,φ2(b)=5,φ2(c)=6\varphi_2(a) = 4, \varphi_2(b) = 5, \varphi_2(c) = 6$ 。
我们希望在 $X$ 上构造一个最粗拓扑 $T\mathscr{T}$ ，使得