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RSS订阅原创 泛函分析与偏微分方程习题（二）
（这一组题来自 Lp 空间的基础练习。挑几道后面分析、PDE 和变分法里反复会用到的题来写，重点放在嵌入、Hölder 不等式、截断逼近、插值以及收敛判别上。）这个题见Brezis书上的第四章，我们给出完整证明。
2026-05-13 11:07:35
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原创 强化学习 Reinforcement Learning David Silver笔记（一）：Introduction
强化学习，David Silver的经典课程，一起学，省下看视频的时间。
2026-05-11 15:48:28
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原创 泛函分析与偏微分方程（九）：Lp空间的基本理论
本文系统介绍了Lp空间的基础内容。第一部分定义了测度空间的基本概念，包括σ-代数、测度和L^1空间。第二部分重点阐述了四个关键积分定理：单调收敛定理（非负递增序列的积分极限）、支配收敛定理（受控收敛序列的积分极限）、Fatou引理（下极限积分的估计）以及C_c函数在L^1中的稠密性。第三部分讨论了乘积空间中的Tonelli定理（非负可测函数的累次积分）。
2026-04-09 01:20:17
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原创 泛函分析与偏微分方程习题（一）
（这一组题来自 $L^p$ 空间的基础练习。挑几道后面分析、PDE 和变分法里反复会用到的题来写，重点放在 $L^p$ 嵌入、Hölder 不等式、截断逼近、插值以及收敛判别上。）这个题见Brezis书上的第四章，我们给出完整证明。
2026-03-26 11:04:36
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原创 泛函分析与偏微分方程（八）：一致凸空间
本文系统研究了一致凸空间的性质与应用。首先给出了一致凸空间的定义与模量概念，证明其等价于模量函数严格正。通过几何刻画，阐明一致凸蕴含严格凸，并以ℓ¹和ℓ∞空间为例说明非一致凸性。重点证明了Hilbert空间和1<p<∞的L^p/ℓ^p空间的一致凸性，给出了模量下界估计。最后利用Goldstine引理，证明了Milman-Pettis定理：一致凸Banach空间必自反。全文通过具体例子和严格推导，揭示了一致凸性与空间几何性质的内在联系。
2026-01-31 23:26:20
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原创 泛函分析与偏微分方程（七）：可分空间
摘要：本文研究了度量空间的可分性及其在泛函分析中的应用。首先定义了可分度量空间（存在可数稠密子集），列举了典型例子（如ℝⁿ、Lᵖ空间）及反例（如L∞）。其次证明了可分性在子集上的继承性，即任何子空间在诱导度量下仍可分。进一步探讨了对偶空间与可分性的关系，指出若对偶空间可分则原空间可分，但反之不成立。对于自反空间，证明了可分性与对偶空间可分性的等价性。最后研究了弱/弱*拓扑的可度量化条件，表明可分性与单位球上的可度量化密切相关。这些结果为分析可分Banach空间的结构提供了重要工具。
2026-01-15 10:34:37
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原创 泛函分析与偏微分方程（六）：自反空间
本文研究了自反空间的性质及其等价刻画。首先定义了自反空间（满足自然嵌入映射$J:E\to E^{}$为满射），并以$\mathbb R^n$、Hilbert空间和$L^p$空间为例。核心结论是Kakutani定理：Banach空间$E$自反当且仅当其闭单位球$B_E$在弱拓扑下紧。证明运用了Goldstine引理（$J(B_E)$在$B_{E^{}}$中弱*稠密）和Helly引理（有限维逼近）。此外还讨论了自反性在序列、凸优化（保证极小值存在）和闭算子（$A^{**}=A$）等方面的应用与稳定性。
2026-01-13 10:42:00
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原创 泛函分析与偏微分方程（五）：弱*拓扑
本节给出弱*拓扑 $\sigma(E^*,E)$ 的内容：先定义弱*拓扑，再证明它是 Hausdorff，并给出弱*邻域基与弱*收敛的等价刻画及基本性质；随后刻画弱*连续线性泛函只能来自对某个 $x_0\in E$ 的取值；最后证明闭单位球 $B_{E^*}$ 在弱*拓扑下紧，得到 Banach–Alaoglu–Bourbaki 定理。每一步都配一个可计算的例子帮助理解。
2025-12-30 15:39:50
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原创 泛函分析与偏微分方程（四）：弱拓扑的三个基本性质
本文探讨了无穷维赋范线性空间中弱拓扑的三个基本性质。首先证明单位开球在弱拓扑下不是开集，因为原点弱邻域必包含无界直线。其次表明弱拓扑不可度量化，否则会导致弱收敛序列范数无界的矛盾。最后在Hilbert空间中构造了弱收敛但不强收敛的正交序列，揭示了两种收敛性的本质差异。这些命题深刻反映了无穷维空间中弱拓扑与范数拓扑的关键区别，为泛函分析研究提供了重要理论基础。
2025-12-25 15:20:50
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原创 泛函分析与偏微分方程（三）：弱拓扑、凸集与线性算子
本文系统研究了赋范线性空间中的弱拓扑与弱收敛性质。首先定义了弱拓扑σ(E,E*)和弱收敛，证明了强收敛蕴含弱收敛但反之不成立（如ℓ²空间的标准基）。其次探讨了凸集在强弱拓扑下的闭包关系，通过Hahn-Banach定理证明了凸集的强闭性与弱闭性等价。然后建立了Mazur引理，表明弱收敛序列存在强收敛的凸组合逼近。文章还研究了线性算子的强弱连续性等价关系，以及凸函数的弱下半连续性。最后通过典型反例（如ℓ²单位球面）展示了非凸集强弱闭包的区别。这些结果为Banach空间几何分析提供了重要工具。
2025-12-15 12:11:51
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原创 泛函分析与偏微分方程（一）：无界线性算子及其伴随算子
今天我们来学习泛函分析中一个非常核心且深刻的主题：无界线性算子及其伴随算子。我们将从大家熟悉的“有界线性算子”出发，逐步过渡到更一般、也更具挑战性的“无界线性算子”，并最终引入其伴随算子的概念。这个过程将帮助我们理解现代偏微分方程等领域的数学基础。
2025-11-27 11:44:53
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