泛函分析与偏微分方程（一）：无界线性算子及其伴随算子

同学们，今天我们来学习泛函分析中一个非常核心且深刻的主题：无界线性算子及其伴随算子。我们将从大家熟悉的“有界线性算子”出发，逐步过渡到更一般、也更具挑战性的“无界线性算子”，并最终引入其伴随算子的概念。这个过程将帮助我们理解现代偏微分方程等领域的数学基础。

一：有界线性算子

在开始之前，让我们先快速回顾一下有界线性算子的定义。

定义 (有界线性算子)：
设 $E$ 和 $F$ 是两个巴拿赫空间（Banach Space）。一个从 $E$ 到 $F$ 的线性映射 $A:E\to F$ 称为有界线性算子，如果存在一个常数 $c\ge 0$，使得对所有 $u\in E$ 都有：
$$\Vert Au{\Vert }_F\le c\Vert u{\Vert }_E$$
这个最小的常数 (c) 被称为算子 (A) 的范数，记作 (|A|)，其定义为：
$$\Vert A{\Vert }_{\mathcal{L}(E,F)}=\underset{u\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Au{\Vert }_F}{\Vert u{\Vert }_E}$$

例子 1 (积分算子)： 考虑空间 $E=F=L^2([0,1])$。定义算子 $A:L^2([0,1])\to L^2([0,1])$ 为： $$(Au)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)u(y)dy$$ 其中核函数 $K(x,y)$
满足 $\iint |K(x,y){|}^{2}dxdy<\infty$。根据施瓦茨不等式，可以证明 $A$ 是有界的，且 $\Vert A\Vert \le {\left(\iint |K(x,y){|}^{2}dxdy\right)}^{1/2}$。

例子 2 (微分算子 - 有界情况)： 在有限维空间中，比如 $E={\mathcal{P}}_2$（次数 $\le 2$ 的多项式），赋予 $L^2([0,1])$ 范数。定义导数算子 $A:E\to L^2([0,1])$ 为 $ (Ap)(x) =
p’(x) $。由于 $E$ 是有限维的，$A$ 是有界线性算子。

二、无界线性算子

在许多实际问题中，特别是偏微分方程和量子力学中，我们遇到的算子往往不是在整个空间上定义的，或者即使定义了，也不满足有界性条件。这就引出了“无界线性算子”的概念。

定义 (无界线性算子)：
设 $E$ 和 (F) 是两个巴拿赫空间。一个无界线性算子 $A$ 是一个从 $E$ 的某个线性子空间 $D(A)\subset E$ 映射到 $F$ 的线性映射。集合 $D(A)$ 称为 $A$ 的定义域（Domain）。

定（图（Graph）)
为了研究无界算子，我们需要一个新的工具：算子的图。
$$G(A)=\{[u,Au]\mid u\in D(A)\}\subset E\times F$$
这是一个在乘积空间 $E\times F$ 中的子集。

定义 (闭算子)：
一个算子 $A$ 被称为闭的（Closed），如果它的图 $G(A)$ 在 $E\times F$ 中是闭集。

如何验证一个算子是闭的？
取一个序列 $(u_n)\subset D(A)$，使得 $u_n\to u$ 在 $E$ 中，且 $A{u}_n\to f$ 在 $F$ 中。要证明 $A$ 是闭的，只需验证两点：
(a) $u\in D(A)$
(b) $f=Au$

例子 3 (微分算子 - 无界情况)： 考虑 $E=F=L^2(\mathbb{R})$。定义算子 $A:$