随机微分方程（SDE）到 Fokker-Planck 方程的推导

随机微分方程（SDE）到 Fokker-Planck 方程的推导

1. 随机微分方程

考虑一维 Itô 型随机微分方程（SDE）：
$$d{X}_t=a(X_t,t)dt+b(X_t,t)d{B}_t,X_0=x_0,$$
其中：
$a(x,t)$ 为漂移系数（drift coefficient）， $b(x,t)$ 为扩散系数（diffusion coefficient），$B_t$ 为标准布朗运动。

设 $p(x,t)$ 为随机变量 $X_t$ 的概率密度函数，即
$$\mathbb{P}(X_t\in dx)=p(x,t)dx.$$

我们的目标是推导 $p(x,t)$ 所满足的偏微分方程——即 Fokker–Planck 方程。

2. 测试函数方法

取任意光滑紧支撑测试函数 $\varphi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$，考虑期望：
$$\mathbb{E}[\varphi (X_t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x)p(x,t)dx.$$

对时间求导，左边为：
$$\frac{d}{dt}\mathbb{E}[\varphi (X_t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\frac{\partial p}{\partial t}(x,t)dx.\text{\hspace{1em}(1)}$$

另一方面，对 $\varphi (X_t)$ 应用 Itô 引理：
$$d\varphi (X_t)={\varphi }^{\prime }(X_t)d{X}_t+\frac{1}{2}{\varphi }^{\prime \prime }(X_t)(d{X}_t{)}^2.$$

将 SDE $d{X}_t=a(X_t,t)dt+b(X_t,t)d{B}_t$ 代入，并利用 Itô 微积分规则：
$$(dt{)}^2=dtd{B}_t=0,(d{B}_t{)}^2=dt,$$
可得
$$(d{X}_t{)}^2=b^2(X_t,t)dt+o(dt).$$

因此，
$$d\varphi (X_t)={\varphi }^{\prime }(X_t)[a(X_t,t)dt+b(X_t,t)d{B}_t]+\frac{1}{2}{\varphi }^{\prime \prime }(X_t)b^2(X_t,t)dt.$$

取期望（注意 $\mathbb{E}[d{B}_t]=0$）：
$$\frac{d}{dt}\mathbb{E}[\varphi (X_t)]=\mathbb{E}\left[a(X_t,t){\varphi }^{\prime }(X_t)+\frac{1}{2}{b}^2(X_t,t){\varphi }^{\prime \prime }(X_t)\right].\text{\hspace{1em}(2)}$$

将 (2) 写成积分形式：
$$\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x)p(x,t)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[a(x,t){\varphi }^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{b}^2(x,t){\varphi }^{\prime \prime }(x)\right]p(x,t)dx.\text{\hspace{1em}(3)}$$

对右边两项分别进行分部积分。由于 $\varphi$ 紧支撑，边界项为零，故：
$$\int a(x,t){\varphi }^{\prime }(x)p(x,t)dx=-\int \varphi (x)\frac{\partial }{\partial x}(a(x,t)p(x,t))dx,$$
$$\int \frac{1}{2}{b}^2(x,t){\varphi }^{\prime \prime }(x)p(x,t)dx=\int \varphi (x)\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{2}{b}^2(x,t)p(x,t)\right)dx.$$

代入 (3) 并与 (1) 比较，得：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\frac{\partial p}{\partial t}(x,t)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\left[-\frac{\partial }{\partial x}(a(x,t)p(x,t))+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{2}{b}^2(x,t)p(x,t)\right)\right]dx.$$

由于 $\varphi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ 任意，由变分引理（fundamental lemma of calculus of variations），被积函数必须几乎处处相等。因此，

$$\boxed{\frac{\partial p}{\partial t}(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(a(x,t)p(x,t))+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{2}{b}^2(x,t)p(x,t)\right)}$$

此即 Fokker–Planck 方程（又称 前向 Kolmogorov 方程）。

3. 特例：热方程

若取 $a(x,t)\equiv 0$，$b(x,t)\equiv \sqrt{2D}$（$D>0$ 为常数），则 SDE 为：
$$d{X}_t=\sqrt{2D}d{B}_t,$$
对应的 Fokker–Planck 方程为：
$$\frac{\partial p}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2},$$
即经典的 热传导方程（或扩散方程）。