复杂网络研究综述

复杂网络研究综述

对复杂系统的研究是当今世界的前沿性课题。在自然界和社会生活中，复杂系统大量存在，例如生物系统、人体系统、铁路系统、社会交往系统、信息网络系统等等。要针对这些复杂系统进行研究，就需要特定的研究方法和角度。复杂网络即是研究复杂系统的一种重要视角和方法，它将复杂系统抽象为个体（节点） 和 相互作用两部分来进行建模与分析。钱学森曾给出一个较为严格的定义：复杂网络是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络。

一、复杂网络研究的历史脉络

复杂网络的思想最早可追溯至1736年欧拉对“Königsberg七桥问题”的解决。欧拉将陆地抽象为节点、桥梁抽象为边，开创了图论这一数学分支，也为网络科学奠定了基础。

1960年，Erdős 与 Rényi 提出了随机图模型（ER模型），标志着复杂网络理论在数学上的系统性起步。他们考虑一个包含 $N$ 个节点的图，每对节点以独立概率 $p$ 连接，记为 $G(N,p)$。该模型的核心结果之一是：当 $N\to \infty$ 且 $p=c/N$（$c$ 为常数）时，网络的连通性会发生相变。

1998年，Watts 与 Strogatz 提出小世界网络模型（WS模型），揭示了真实网络同时具有高集聚系数与短平均路径长度的特性。1999年，Barabási 与 Albert 基于对万维网的实证分析，提出无标度网络模型（BA模型），指出真实网络的度分布服从幂律，从而宣告了现代复杂网络科学的正式诞生。

二、复杂网络的拓扑度量

为定量刻画网络结构，研究者定义了一系列拓扑指标：

• 度（Degree）：节点 $i$ 的度 $k_i$ 表示其直接邻居的数量，即
  $$k_i=\sum _{j=1}^N{A}_{ij},$$
  其中 $A=[A_{ij}]$ 为邻接矩阵，$A_{ij}=1$ 表示节点 $i$ 与 $j$ 相连，否则为 0。

• 集聚系数（Clustering Coefficient）：衡量节点邻居之间相互连接的紧密程度。节点 $i$ 的局部集聚系数定义为
  $$C_i=\frac{2E_i}{k_i(k_i-1)},$$
  其中 $E_i$ 是 $i$ 的邻居之间实际存在的边数。网络整体集聚系数为 $C=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{C}_i$。

• 最短路径长度（Shortest Path Length）：节点 $i$ 与 $j$ 之间的最短路径长度 $d_{ij}$ 是连接二者所需最少边数。网络平均最短路径为
  $$L=\frac{1}{N(N-1)}\sum _{i\ne j}{d}_{ij}.$$

• 介数（Betweenness Centrality）：节点 $v$ 的介数定义为
  $$B(v)=\sum _{s\ne t\ne v}\frac{{\sigma }_{st}(v)}{{\sigma }_{st}},$$
  其中 σst\sigma_{st}σ<