变分法入门

变分法是泛函极值问题的研究方法。与常规微积分中对函数 $f(x)$ 求极值的不同，变分法的自变量是函数，而目标是找到使某个泛函取极值的函数。

一、变分法的基本设定

1.1 变分法的定义

变分法（Calculus of Variations）研究的是泛函的极值问题。泛函是一种将函数映射为实数的映射。与普通的函数极值问题不同，变分法的目标是找到一个函数，使得某个泛函达到极值。
变分法的基本思想来源于物理学中的最小作用原理，它通常用于求解描述物理系统行为的方程（例如，力学、电磁学等中的运动方程）。变分法最早由欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）提出，并成为经典力学中拉格朗日力学的基础。

1.2 变分法的具体设定

设 ( y \in C^1([a,b]) )，且满足固定端点条件：
$$y(a)=y_a,y(b)=y_b.$$
考虑一个形式为：
$$J[y]={\int }_a^{b}L(x,y(x),y^{\prime }(x))dx,$$
的泛函，其中拉格朗日量 ( $L:[a,b]\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ) 是关于三个变量的 ($C^2$ ) 函数。
问题：在所有满足边界条件的函数 $y$ 中，哪一个（些）使得 $J[y]$ 取得极值（极小或极大）？

二、变分与一阶必要条件

设 $\bar{y}(x)$ 是 $J[y]$ 的极值函数。考虑其邻近函数：
$$y_{\epsilon }(x)=\bar{y}(x)+\epsilon \eta (x),$$
其中 $\epsilon \in \mathbb{R}$ 是小参数，$\eta \in C^1([a,b])$ 是任意变分函数，并满足 $\eta (a)=\eta (b)=0$，保持端点固定。
定义复合函数：
$$\Phi (\epsilon ):=J[y_{\epsilon }]={\int }_a^{b}L(x,\bar{y}+\epsilon \eta ,{\bar{y}}^{\prime }+\epsilon {\eta }^{\prime })dx.$$
若 $\bar{y}$ 是极值点，则 $\Phi (\epsilon )$ 在 $\epsilon =0$ 处取极值，故一阶导数为零：
$${\Phi }^{\prime }(0)=0.$$
计算导数：
$${\Phi }^{\prime }(\epsilon )={\int }_a^b(\frac{\partial L}{\partial y}\eta +\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}<$$