s是虚数时，黎曼ζ(s)发散

由于
$$\zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty$$发散， $i=1i$ ,所以有

$$\zeta (i)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^i}=\infty$$

发散，所以 $y$ 是实数时,

$$\zeta (yi)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{yi}}=\infty$$

发散， $(y\in \mathbb{R})$ ,所以

$$\zeta (x+iy)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x+iy}}=\infty$$

发散！$s=x+iy,(x,y\in \mathbb{R},y\ne 0)$

当 $y=0$ 时， $x\le 1,\zeta (x)=\infty$

我们来看看一般情况：令 $s=x+iy,(x,y\in \mathbb{R}),$ $$\frac{1}{n^s}=e^{-x\ln n-iy\ln n}=\frac{\cos (y\ln n)-i\sin (y\ln n)}{n^x}$$

$$\zeta (s)=\zeta (x+iy)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (y\ln n)-i\sin (y\ln n)}{n^x}$$

当 $x=0,y\in \mathbb{R}$ 时， $s=iy,$ $$\zeta (iy)=\sum _{n=1}^{\infty }\cos (y\ln n)-i\sum _{n=1}^{\infty }\sin (y\ln n)=\infty$$

当 $x,y\in \mathbb{R},y\ne 0$ 时， $$\zeta (x+iy)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (y\ln n)}{n^x}-i\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (y\ln n)}{n^x}=\infty$$

其中， $y\ne 0$ 时，虚部总是发散，实部不用管它。

另：实部不能为 $0$,且实部与虚部不能同时为 $0$，即 $\sin \theta$与$\cos \theta$不能同时为 $0$ ，所以 $\zeta (x+iy)\ne 0$ ,即在复数域 $\zeta (s)$ 没有零点！