一道有趣的算法题： 将正整数表示成为两个正整数的平方差

校内训练赛的题目，挺有意思的，写出来分享下

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题目

分析

题目不短，但是问题不难。给定一个正整数，是否可以将其表示成为两个正整数的平方差

使用题目中的形式就是：n = m² - k² ，给定正整数n，求出一组满足该方程的m和k。如果不能表示成这种形式，则输出impossible

就像样例所给的，7 = 4² - 3² = 16 - 9。而10 不能被表示成任何正整数的差。

枚举 O(n)

有一种思路非常容易想到，那就是暴力枚举m，检验算出的值是否是完全平方数即k²。

下面就需要想办法确定m的枚举范围了。我们知道，对于确定的m，平方差最小值为 m² - (m - 1)² = m * 2 + 1

对于再大的m，我们就没有枚举的必要了。也就是说，m的范围应该满足这个式子：

m * 2 - 1 <= n

整理：
m <= (n + 1)/2

那么如果超过了这个范围，还没有找到，那就是不能被表示了，输出impossible就好。

这确定了上限，下面我们需要来确定下限。考虑到 k² = m² - n > 0 解得 m > sqrt(n)

后面的交给暴力就好

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n;
int main()
{
   
	cin >> n;
	for(long long m = sqrt(n) + 1,k;m <= (n - 1) >> 1;m++)
	{
   
		k = sqrt(m * m - n);
		if(n == m * m - k * k)
		{
   
			cout << m << " " << k;
			return 0;
		}
	}
	cout << "impossible"; 
}

因数分解O(sqrt(n))

那么除了刚刚那种暴力的枚举。我们还可以使用一些数学手段重新规划这个求解过程。

考虑到：

$n=m^2-$