量子信息（3）玻尔兹曼分布，玻色-爱因斯坦分布与费米-狄拉克分布

• 波尔兹曼分布

波尔兹曼分布（Boltzmann distribution）是统计物理学中描述粒子在热平衡状态下能量分布的概率分布。它是根据统计力学的基本假设和玻尔兹曼因子而得到的分布函数。

在热力学系统中，粒子的能级分布是由玻尔兹曼分布所描述的。波尔兹曼分布可用以下公式表示：

在这个公式中：

• Pi​ 是第 i 个能级的概率；
• Ei​ 是第 ii个能级的能量；
• k 是玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）；
• T 是系统的温度；
• Z 是配分函数（partition function），用于归一化概率分布。

波尔兹曼分布告诉我们，在热平衡状态下，系统中的粒子将根据其能级的能量分布在不同的状态上，概率随着能量的增加而指数衰减。这个分布函数在研究气体、液体等不同状态的热力学性质和统计行为时起着关键作用。

通过波尔兹曼分布，我们可以了解在给定温度下，系统中各个能级的粒子分布情况，从而推导出系统的热力学性质和平衡态下的统计行为。这个分布函数在热力学和统计物理学的研究中有着广泛的应用。

• 玻色-爱因斯坦分布

玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein distribution）是描述玻色子在量子力学系统中能级分布的概率分布。玻色-爱因斯坦分布是一种特殊的分布函数，适用于描述玻色子（具有整数自旋的粒子）的统计行为。

在玻色-爱因斯坦分布中，每个能级上的玻色子数目可以是任意整数，因此玻色子之间没有排斥作用，可以聚集在同一个能级上。玻色-爱因斯坦分布可以用以下公式表示：