电磁场的能量定律——坡印廷定理

原创于 2025-11-28 20:20:49 发布 · 537 阅读

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我们来详细地、系统地解释电磁场的能量定律——坡印廷定理。

这个定理是麦克斯韦方程组在能量层面的直接推论，它描述了电磁场中能量守恒与转化的关系。

1. 物理含义与核心思想

在经典力学中，我们知道能量守恒：一个系统的能量增加，等于外界对它做的功。在电磁学中，这个思想被推广到充满空间的电磁场。

坡印廷定理的核心物理思想是：

空间中某一区域V内，电磁场总能量的减少率，等于：

流出该区域边界S的电磁能流（能量以电磁波的形式“流走”了）。
加上该区域V内电磁场对电荷做功的功率（电磁能转化为了电荷的机械能或热能）。

简单来说，它回答了“电磁场的能量从哪里来，到哪里去”的问题。能量不再只是附着在电荷上，而是以“能流”的形式在空间中传播。例如，电池点亮灯泡的能量，是通过电池和灯泡之间的空间，以电磁能流（坡印廷矢量）的形式传递过去的，而不是通过导线内部的电流“推”过去的。

2. 公式推导与解释

我们从描述电磁场基本规律的麦克斯韦方程组出发。

第一步：找出场对电荷做功的功率密度

电磁场对电荷做功的功率密度（单位体积内的功率）由洛伦兹力公式给出：

dF⋅dldV=q(E+v×B)⋅vdtdVdVdF⋅dl=dVq(E+v×B)⋅vdt

由于 v×B⋅v=0v×B⋅v=0（力与速度垂直，不做功），并且 qv=Jqv=J（电流密度），所以：

功率密度=J⋅E功率密度=J⋅E

这个项表示电磁场将能量传递给带电粒子的速率，通常这部分能量会转化为电荷动能（机械能）或焦耳热。

第二步：利用麦克斯韦方程组消去 J⋅EJ⋅E

从麦克斯韦-安培定律出发：

∇×H=J+∂D∂t∇×H=J+∂t∂D

解出 JJ：

J=∇×H−∂D∂tJ=∇×H−∂t∂D

将其代入 J⋅EJ⋅E：

J⋅E=E⋅(∇×H)−E⋅∂D∂t(1)J⋅E=E⋅(∇×H)−E⋅∂t∂D(1)

第三步：使用矢量恒等式与法拉第定律

有一个矢量恒等式：

∇⋅(E×H)=H⋅(∇×E)−E⋅(∇×H)∇⋅(E×H)=H⋅(∇×E)−E⋅(∇×H)

根据法拉第电磁感应定律：∇×E=−∂B∂t∇×E=−∂t∂B，代入上式：

∇⋅(E×H)=H⋅(−∂B∂t)−E⋅(∇×H)∇⋅(E×H)=H⋅(−∂t∂B)−E⋅(∇×H)

整理得到：

E⋅(∇×H)=−∇⋅(E×H)−H⋅∂B∂t(2)E⋅(∇×H)=−∇⋅(E×H)−H⋅∂t∂B(2)

第四步：得到微分形式的坡印廷定理

将(2)式代入(1)式：

J⋅E=[−∇⋅(E×H)−H⋅∂B∂t]−E⋅∂D∂tJ⋅E=[−∇⋅(E×H)−H⋅∂t∂B]−E⋅∂t∂D

移项整理：

−J⋅E=∇⋅(E×H)+E⋅∂D∂t+H⋅∂B∂t(3)−J⋅E=∇⋅(E×H)+E⋅∂t∂D+H⋅∂t∂B(3)

这就是坡印廷定理的微分形式。 我们来逐项解释：

−J⋅E−J⋅E：单位体积内电磁场损失的功率（因为正功表示能量从场转移给了电荷）。
∇⋅(E×H)∇⋅(E×H)： 坡印廷矢量 SS 的散度。S=E×HS=E×H 代表电磁能流密度矢量，其方向表示能量流动方向，大小表示单位时间垂直通过单位面积的能量。其散度表示从单位体积内净流出的能流功率。
E⋅∂D∂t+H⋅∂B∂tE⋅∂t∂D+H⋅∂t∂B：单位体积内电磁场能量的增加率。

在线性、各向同性介质中（D=ϵE,B=μHD=ϵE,B=μH），后两项可以写成：

E⋅∂D∂t=12ϵ∂E2∂t=∂∂t(12ϵE2)E⋅∂t∂D=21ϵ∂t∂E2=∂t∂(21ϵE2)H⋅∂B∂t=12μ∂H2∂t=∂∂t(12μH2)H⋅∂t∂B=21μ∂t∂H2=∂t∂(21μH2)

我们定义电磁场的能量密度 uu：

u=ue+um=12E⋅D+12H⋅B=12ϵE2+12μH2u=ue+um=21E⋅D+21H⋅B=21ϵE2+21μH2

其中 ueue 是电场能密度，umum 是磁场能密度。

于是，(3)式在线性介质中变为：

−J⋅E=∇⋅S+∂u∂t−J⋅E=∇⋅S+∂t∂u

这个形式非常直观：场对电荷做功的功率 = 能量流出的速率 + 场自身能量增加的速率。

3. 积分形式与图示

为了看清一个有限区域内的能量守恒，我们对微分形式进行体积分。

对(3)式两边在体积V内积分：

−∭VJ⋅EdV=∭V∇⋅SdV+∭V∂u∂tdV−∭VJ⋅EdV=∭V∇⋅SdV+∭V∂t∂udV

利用散度定理 ∭V(∇⋅S)dV=∯∂VS⋅dA∭V(∇⋅S)dV=∬∂VS⋅dA，我们得到：

−∭VJ⋅EdV=∯∂SS⋅dA+∂∂t∭VudV−∭VJ⋅EdV=∬∂SS⋅dA+∂t∂∭VudV

这就是坡印廷定理的积分形式，也是其最常用的形式。

公式图示与各项解释

text

      ∂V (封闭曲面S)
      /\
     /  \
    /    \ <-- 坡印廷矢量 S = E × H
   /  V   \     穿过表面
  /        \
 /__________\

左边项： −∭VJ⋅EdV−∭VJ⋅EdV
- 物理意义： 在体积V内，电磁场传递给电荷的总功率（即转化为机械能或焦耳热的总功率）。负号表示这是电磁场能量的“损失项”。
右边第一项： ∯∂SS⋅dA∬∂SS⋅dA
- 物理意义： 通过包围体积V的封闭曲面S净流出的电磁功率。S⋅dAS⋅dA 表示通过面元 dAdA 的功率。当此项为正时，表示有净能量流出该区域。
右边第二项： ∂∂t∭VudV∂t∂∭VudV
- 物理意义： 体积V内储存的电磁场总能量随时间的变化率。如果此项为正，表示V内的场能在增加。