电磁场的波动方程与光速的推导

详细推导电磁场的波动方程，并揭示光速的来源。这个推导是物理学史上一个里程碑式的成就，它统一了电学、磁学和光学。

1. 前提与基础：麦克斯韦方程组

我们在真空中进行推导，这是最简洁且物理图像最清晰的情形。真空中，没有电荷（ρ=0ρ=0）也没有电流（J=0J=0），且介电常数和磁导率为真空常数 ϵ0ϵ0​ 和 μ0μ0​。

此时的麦克斯韦方程组简化为：

1. 高斯定律（电场）: ∇⋅E=0∇⋅E=0

2. 高斯定律（磁场）: ∇⋅B=0∇⋅B=0

3. 法拉第电磁感应定律: ∇×E=−∂B∂t∇×E=−∂t∂B​

4. 安培-麦克斯韦定律: ∇×B=μ0ϵ0∂E∂t∇×B=μ0​ϵ0​∂t∂E​

核心思想：法拉第定律告诉我们，变化的磁场可以产生（涡旋）电场；安培-麦克斯韦定律告诉我们，变化的电场可以产生（涡旋）磁场。这种相互激发、相互依赖的关系，为波动提供了内在的机制。一个变化的电场会在其周围产生一个变化的磁场，而这个新产生的变化磁场又会在更远处产生一个新的变化电场……如此循环，电磁扰动就能以波的形式在空间中传播开来。

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2. 波动方程的推导

我们的目标是得到只包含 EE 或只包含 BB 的方程。这需要通过联立上述方程来实现。

第一步：推导电场的波动方程

我们从法拉第定律出发：

∇×E=−∂B∂t(1)∇×E=−∂t∂B​(1)

我们希望消去 BB。一个自然的想法是对(1)式两边取旋度：

∇×(∇×E)=−∇×(∂B∂t)∇×(∇×E)=−∇×(∂t∂B​)

处理左边：利用矢量恒等式 ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E。
根据高斯定律 ∇⋅E=0∇⋅E=0，所以左边简化为：

∇×(∇×E)=−∇2E∇×(∇×E)=−∇2E

处理右边：对时间和空间的求导顺序可以交换（假设场函数足够光滑）：

−∇×(∂B∂t)=−∂∂t(∇×B)−∇×(∂t∂B​)=−∂t∂​(∇×B)

现在，关键的一步来了！我们将安培-麦克斯韦定律 ∇×B=μ0ϵ0∂E∂t∇×B=μ0​ϵ0​∂t∂E​ 代入上式：

−∂∂t(∇×B)=−∂∂t(μ0ϵ0∂E∂t)=−μ0ϵ0∂2E∂t2−∂t∂​(∇×B)=−∂t∂​(μ0​ϵ0​∂t∂E​)=−μ0​ϵ0​∂t2∂2E​

现在，左右两边相等：

−∇2E=−μ0ϵ0∂2E∂t2−∇2E=−μ0​ϵ0​∂t2∂2E​

两边同时乘以 −1−1，得到：

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2∇2E=μ0​ϵ0​∂t2∂2E​

这就是真空中的电场波动方程！

第二步：推导磁场的波动方程

推导过程与电场完全对称。我们从安培-麦克斯韦定律出发：

∇×B=μ0ϵ0∂E∂t(2)∇×B=μ0​ϵ0​∂t∂E​(2)

同样，对两边取旋度：

∇×(∇×B)=μ0ϵ0∇×(∂E∂t)∇×(∇×B)=μ0​ϵ0​∇×(∂t∂E​)

处理左边：利用矢量恒等式 ∇×(∇×B)=∇(∇⋅B)−∇2B∇×(∇×B)=∇(∇⋅B)−∇2B。
根据高斯磁场定律 ∇⋅B=0∇⋅B=0，左边简化为：

∇×(∇×B)=−∇2B∇×(∇×B)=−∇2B

处理右边：交换求导顺序：

μ0ϵ0∇×(∂E∂t)=μ0ϵ0∂∂t(∇×E)μ0​ϵ0​∇×(∂t∂E​)=μ0​ϵ0​∂t∂​(∇×E)

现在，代入法拉第定律 ∇×E=−∂B∂t∇×E=−∂t∂B​：

μ0ϵ0∂∂t(∇×E)=μ0ϵ0∂∂t(−∂B∂t)=−μ0ϵ0∂2B∂t2μ0​ϵ0​∂t∂​(∇×E)=μ0​ϵ0​∂t∂​(−∂t∂B​)=−μ0​ϵ0​∂t2∂2B​

现在，左右两边相等：

−∇2B=−μ0ϵ0∂2B∂t2−∇2B=−μ0​ϵ0​∂t2∂2B​

两边同时乘以 −1−1，得到：

∇2B=μ0ϵ0∂2B∂t2∇2B=μ0​ϵ0​∂t2∂2B​

这就是真空中的磁场波动方程！

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3. 波动方程的一般形式与光速的推导

我们得到的两个方程具有完全相同的形式：

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2∇2E=μ0​ϵ0​∂t2∂2E​∇2B=μ0ϵ0∂2B∂t2∇2B=μ0​ϵ0​∂t2∂2B​

在物理学中，三维波动方程的标准形式是：

∇2Ψ=1v2∂2Ψ∂t2∇2Ψ=v21​∂t2∂2Ψ​

其中：

• ΨΨ 是波动的物理量（例如声压、位移，或者这里的 EE 和 BB）。

• vv 是波在该介质中传播的相速度（通常简称波速）。

将我们的方程与标准形式进行比较：

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2 与 ∇2Ψ=1v2∂2Ψ∂t2∇2E=μ0​ϵ0​∂t2∂2E​ 与 ∇2Ψ=v21​∂t2∂2Ψ​

我们可以清晰地看到：

μ0ϵ0=1v2μ0​ϵ0​=v21​

因此，电磁波在真空中的传播速度 vv 为：

v=1μ0ϵ0v=μ0​ϵ0​​1​

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4. 历史性的一刻：光速的确认

麦克斯韦计算了 1μ0ϵ0μ0​ϵ0​​1​ 的数值。

• ϵ0ϵ0​（真空介电常数）可以通过静电学实验测量，例如平行板电容器的电容。

• μ0μ0​（真空磁导率）其数值在SI单位制中被定义为 。

将这两个常数的值代入公式：

c=1(4π×10−7)⋅(8.854187817×10−12)≈2.998×108 m/sc=(4π×10−7)⋅(8.854187817×10−12)​1​≈2.998×108 m/s

这个数值与当时已知的光在真空中的测量速度（约为 3.0×108 m/s3.0×108 m/s）惊人地吻合！

5. 结论与物理意义

1. 波动方程的物理内涵：推导出的方程表明，电场和磁场在真空中以波的形式传播。方程左边的拉普拉斯算符 ∇2∇2 描述了场的“弯曲”或“空间变化率”，右边的二阶时间导数描述了场的“时间变化率”。方程将二者联系起来，意味着空间的“弯曲”是由时间的“变化”所驱动和支持的，这正是波动的本质。

2. 光速的本质：这个推导揭示了光的电磁本质。

   • 光就是电磁波。我们通常所说的“光”只是电磁波谱中一个很窄的波段（可见光）。

   • 光速 cc 是一个基本物理常数，它直接由真空的电磁性质（ϵ0ϵ0​ 和 μ0μ0​）决定。这解释了为什么光速在真空中对所有观察者都是常数，与光源和观察者的运动状态无关，这也是狭义相对论的基本出发点之一。

3. 统一的胜利：麦克斯韦的这一工作将电、磁、光三种看似不同的物理现象统一在了同一个理论框架之下，是物理学统一之路上的光辉典范。

总结一下推导的核心逻辑链：
变化的电场和磁场相互激发 → 推导出满足标准形式的波动方程 → 与标准形式对比得出波速 v=1/μ0ϵ0v=1/μ0​ϵ0​​ → 计算该值并与光速测量值比较 → 得出结论：光是电磁波。