普通筛和线性筛求某一范围内的质数

普通筛和线性筛求某一范围内的质数

普通筛

分析思路

• 凡是可以通过除了1和他本身以外两个整数相乘得到的数必定不是质数。
• 很常规的思考方式是用两层循环，外层从2开始直到最大边界，内层从2开始直它与外层的乘积到最大边界
• 定义一个不小于最大边界的数组，并初始化所有元素为零，用数组的索引值作为范围内的整数。如果整数为合数，则把对应索引的数组值赋值为1

代码如下

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define max_n 200000

int prime[max_n + 5];

int main() {
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    for (int i = 2; i < max_n; ++i) {
        if (!prime[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
            for (int j = 2; j * i < max_n; ++j) {
                prime[j * i] = 1;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", prime[10001]);

    return 0;
}

代码分析

• 代码是求200000以内所有质数，并求第10001个质数的值
• 直接使用prime这个原始数组来存储质数，而不用重新定义新数组。并且，prime数组的第一元素值充当了计数器的作用，也就是说prime[0]的值就是素数的个数

线性筛

分析思路

• 普通筛的一大缺点就是很多合数被重复判断，线性筛可以做的不重复判断，因而可以提高效率
• 所有的合数都可以拆分成唯一的一组质数相乘的形式。可以把合数分成两类，一类是使用两个质数相乘得到的，另一类是使用大于两个质数相乘得到的。
• 对于两个质数相乘的合数，只需要用一个质数去乘不大于这个质数的所有质数就可以筛选出来。比如用5可以筛选出2 * 5 = 10, 3 * 5 = 15, 5 * 5 = 25，三个合数。并且用这总方式筛选的合数不会重复（合数拆成质数的唯一性）。
• 对于大于两个质数相乘的合数，用一个合数去乘小于这个合数的质数，直到这个质数是这个合数的质因子时结束。
  例如：比9小的质数有2,3,5,7，从2开始，9 % 2不为零，所有有9 * 2 = 18,也就是18被标记为1，继续往后，9 % 3 = 0，所以有 9 * 3 = 27，也就是27被标记为1.到此为止，不再往后，再往后就会出现重复标记。
  证明过程如下所示：
  对于一个合数数c=a * b(a为c的最小质因数），当通过该算法的循环循环至c * a时，易得此时c % a = 0,如果此时继续循环至a后面的一个素数d，则有：c * d = a * b * d = a * (d * b)，因为d > a,所以d * b > c。当循环从c继续查找到d * b时我们发现当d * b再次与素数a想乘时，就又对c * d进行了一次操作，出现了冗余，

代码如下

#include<stdio.h>
#define max_n 200000

int prime[max_n + 5] = {0};

int main() {
    for (int i = 2; i <= max_n; ++i) {
        if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
        for (int j = 1; j <= prime[0]; ++j) {
            if (i * prime[j] > max_n) break;
            prime[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    printf("%d\n", prime[10001]);

    return 0;
}