学习笔记——高斯消元

简介

高斯消元是一个用于求方程组的解的算法。在线性代数中非常重要。一般而言，其复杂度为$O(n^3)$，可以承受$200$及以下的数据范围(当然有的题目时限是$10000ms$什么的，特殊情况特殊对待)。

算法理解

考虑一个二元一次方程组怎么解。
$$\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+a_2{x}_2=a_3\\ b_1{x}_1+b_2{x}_2=b_3\end{array}$$
首先将第一个方程化为$x_1+\frac{a_2}{a_1}{x}_2=\frac{a_3}{a_1}$，然后两边再同乘$b_1$，这样在两个方程中，$x_1$的系数就都化为$b_1$，然后两式相减，就可以消去$x_1$，然后就可以解出$x_2$，再回代，求解$x_1$。

那么多元方程组也是一样的思路。
$$\{\begin{array}{l}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots =a_{1,n+1}\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots =a_{2,n+1}\\ ⋮\\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\cdots =a_{n,n+1}\end{array}$$
首先把第一个方程化为 x 1 + a 1 , 2 a 1 , 1 x 2 + ⋯ = a 1 , n + 1 a 1 , 1 x_1+\frac{a_{1,2}}{a_{1,1}}x_2+\dots=\frac{a_{1,n+1}}{a_{1,1}} x1​+a1,1​a1,2​​x