学习笔记——高斯消元

ZCETHAN

于 2021-02-05 18:14:19 发布

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分类专栏：算法笔记文章标签：高斯消元

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangchizc/article/details/113665470

本文详细介绍了高斯消元法的概念、算法理解和实现步骤，包括浮点线性方程组、异或方程组、整数线性方程组和模线性方程组的解法。通过实例解析了如何利用高斯消元法解决不同类型的方程组，同时讨论了解的性质和判断无解、多解的情况。

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简介

高斯消元是一个用于求方程组的解的算法。在线性代数中非常重要。一般而言，其复杂度为 $O(n^3)$ ，可以承受 $200$ 及以下的数据范围(当然有的题目时限是 $10000 m s$ 什么的，特殊情况特殊对待)。

算法理解

考虑一个二元一次方程组怎么解。
$\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2=a_3\\b_1x_1+b_2x_2=b_3\end{cases}$
首先将第一个方程化为 $x_1+\frac{a_2}{a_1}x_2=\frac{a_3}{a_1}$ ，然后两边再同乘 $b_1$ ，这样在两个方程中， $x_1$ 的系数就都化为 $b_1$ ，然后两式相减，就可以消去 $x_1$ ，然后就可以解出 $x_2$ ，再回代，求解 $x_1$ 。

那么多元方程组也是一样的思路。
$\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots=a_{1,n+1}\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots=a_{2,n+1}\\\vdots\\a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\dots=a_{n,n+1}\end{cases}$
首先把第一个方程化为 $x_1+\frac{a_{1,2}}{a_{1,1}}x_2+\dots=\frac{a_{1,n+1}}{a_{1,1}}$

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